У теорії чисел функція суми квадратів — арифметична функція, яка дає кількість подань натурального числа як суми квадратів, де подання, які відрізняються лише порядком доданків або знаками чисел, які підносять до квадрата, вважають різними і позначають .
Визначення Функцію визначають як
де позначає потужність множини. Іншими словами, — це кількість способів, якими можна записати як суму квадратів.
Наприклад, , оскільки де кожна сума має дві комбінації знаків, а також , оскільки з чотирма комбінаціями знаків. З іншого боку, , тому що немає способу подати 3 як суму двох квадратів.
Формули
k = 3 Кількість способів запису натурального числа у вигляді суми двох квадратів визначається як :
де — кількість дільників числа , рівних 1 за модулем 4, а — кількість дільників числа , рівних 3 за модулем 4. Використовуючи знак суми, вираз можна записати так:
Розклад на прості множники , де — прості множники форми і — прості множники форми дає іншу формулу
, якщо всі показники парні. Якщо один або декілька непарні, тоді .
k = 4 Гаусс довів, що для вільного від квадратів числа
де — номер класу цілого числа .
Існують розширення формули Гауса на довільне ціле число .
k = 6 Кількість способів подати у вигляді суми чотирьох квадратів з'ясував Карл Густав Якоб Якобі: вона у вісім разів перевищує суму дільників , які не діляться на 4, тобто
Подавши , де m — непарне ціле число, можна виразити у термінах функції дільників так:
k = 8 Кількість способів подати у вигляді суми шести квадратів визначають так:
де є символом Кронекера.
k = 2 Якобі також знайшов явну формулу для випадку :
Твірна функція Твірну функцію послідовності для фіксованого можна виразити через тета-функцію Якобі:
де
Числові значення Перші 30 значень для наведено в таблиці: n=r1(n)r2(n)r3(n)r4(n)r5(n)r6(n)r7(n)r8(n)001111111111246810121416220412244060841123300832801602804484222462490252574113655082448112312840201662×3002496240544128831367700064320960236855048230412242001020344493289322430104250876354212112102×508241445601560442414112111100249656024007560213121222×3008964002080924031808131308241125602040845635168142×7004819280032641108838528153×500019296041601657656448162424624730409218494748641717084814448034801780878624182×3204363121240438019740847841919002416015207200277201097602022×50824144752655234440143136213×700482561120460829456154112222×11002428818408160313041491842323000192160010560497281946882423×300249612008224528082611842552212302481210781243414252016262×1308723362000102005224824617627330032320224013120683203270402822×7000192160012480740483907842929087224016801010468376390240302×3×5004857627201414471120395136
Примітки
Посилання