Арифмети́чна (аритмети́чна ) прогре́сія — це послідовність дійсних чисел, кожен член якої, починаючи з другого, утворюється додаванням до попереднього члена одного й того ж числа. Загальний вид арифметичної прогресії:
де — це перший член прогресії, .
Число називають різницею арифметичної прогресії.
Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. Якщо , то вона зростає, а при вона спадає. Якщо , то прогресія є сталою.
Знаходження -го члена арифметичної прогресії Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:
За означенням арифметичної прогресії:
Простежується закономірність .
Властивість арифметичної прогресії Виразимо члени та через і : і Знайдемо їхнє середнє арифметичне:
Тобто, будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх членів. ,
Сума перших членів арифметичної прогресії
Сума n послідовних членів починаючи з першого члена Запишемо суму послідовних членів арифметичної прогресії двома способами:
Додамо ці два вирази:
Поділимо обидві частини на 2:
Отже, сума перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:
Сума n послідовних членів починаючи з k-го члена Із арифметичної прогресії можна виділити підпослідовність , що є арифметичною прогресією. Тоді сума перших членів :
Отже, сума послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з -го члена:
Сума перших n натуральних чисел
Суму перших натуральних чисел можна записати як:
Отже, сума перших натуральних чисел: .
Ця формула відома як трикутне число.
Існує історія про те, як Карл Ґаусс відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб подовше зайняти дітей, учитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — . Ґаусс помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: , тощо, і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює . Дійсно, легко бачити, що розв'язок зводиться до формули , тобто до формули суми перших чисел натурального ряду.
Див. також Гармонічна прогресія (математика) Генеральна сукупність Геометрична прогресія Гіпотеза Ердеша про арифметичні прогресії Комбінаторика Математична індукція Монотонна послідовність Мультисекція ряду Рекурентне співвідношення Теорема Ферма про прямокутний трикутник Узагальнена арифметична прогресія Фігурні числа
Примітки
Посилання на сторонні джерела
Арифметичні послідовності на Mathworld FIZMA.neT — математика онлайн
Джерела