У математиці гармонічна прогресія (або гармонічна послідовність) — прогресія, утворена з обернених величин членів арифметичної прогресії.

Еквівалентно, послідовність є гармонічною прогресією, коли кожен член (крім першого) є середнім гармонічним сусідніх членів.

Третій еквівалентний опис: це нескінченна послідовність виду

де a не дорівнює нулю і −a/d не є натуральним числом, або скінченна послідовність виду

де a не дорівнює нулю, k — натуральне числом і −a/d не є натуральним числом або є більшим за k.

Приклади Далі  — натуральне число з послідовності:

називається гармонічною послідовністю

Суми гармонічних прогресій Нескінченні гармонічні прогресії не сумовні (сума прямує до нескінченності).

Неможливо, щоб сума гармонічної прогресії різних одиничних дробів (окрім тривіального випадку, коли a = 1 і k = 0) дорівнювала цілому числу. Причина полягає в тому, що принаймні один знаменник прогресії обов'язково матиме дільникомпросте число, на яке не ділиться жоден інший знаменник.. As cited by .

Використання в геометрії Якщо колінеарні точки A, B, C і D такі, що D є гармонічним спряженням C відносно A і B, то відстані від будь-якої з цих точок до трьох інших точок утворюють гармонічну прогресію.Chapters on the modern geometry of the point, line, and circle, Vol. II by Richard Townsend (1865) p. 24Modern geometry of the point, straight line, and circle: an elementary treatise by John Alexander Third (1898) p. 44 Зокрема, кожна з послідовностей AC, AB, AD; BC, BA, BD; CA, CD, CB і DA, DC, DB — це гармонічні прогресії, де кожну з відстаней зазначено відповідно до фіксованої орієнтації прямої.

У трикутнику, якщо висоти утворюють арифметичну прогресію, то сторони утворюють гармонічну прогресію.

Задача про стопку цегли

Прикладом гармонічної прогресії є похила вежа лір. У ній однорідні блоки складають один на одного, щоб досягти найбільшого зміщення вбік. Блоки складають на 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, 1/10, … ширини вбік відносно попереднього блока. Це гарантує, що центр ваги лежить саме в центрі конструкції, щоб вона не зруйнувалася. Незначне збільшення ваги конструкції призводить до її нестійкості та падіння.

Див. також Геометрична прогресія Гармонічний ряд Гармоніки (в музиці)

Примітки

Література Mastering Technical Mathematics by Stan Gibilisco, Norman H. Crowhurst, (2007) p. 221 Standard mathematical tables by Chemical Rubber Company (1974) p. 102 Essentials of algebra for secondary schools by (1897) p. 307