Спорадична група — одна з 26 виняткових груп у теоремі про класифікацію простих скінченних груп.

Проста група — це група G, що не містить будь-яких нормальних підгруп, відмінних від самої групи G і тривіальної (одиничної) підгрупи. Теорема класифікації стверджує, що складається з 18 зліченних нескінченних сімейств, плюс 26 винятків, які не потрапляють до цієї класифікації. Ці винятки називають спорадичними групами. Вони також відомі під назвами «спорадичні прості групи» або «спорадичні скінченні групи». Оскільки не є строго групою лієвого типу, іноді її також вважають спорадичноюНаприклад, згідно з Конвеєм. і в цьому випадку вона є 27-ою спорадичною групою.

Група Монстр — найбільша серед спорадичних груп і містить як підгрупи або всі, за винятком шести, інші спорадичні групи.

Назви спорадичних груп П'ять спорадичних груп виявив у 1860-х роках Матьє, решту 21 знайдено між 1965 і 1975 роками. Існування кількох із цих груп передбачено до їх побудови. Пізніше доведено, що цим остаточно завершено повний пошук. Більшість груп носять імена математиків, які першими передбачили їх існування.

Повний список груп:

групи Матьє , , , , , , , Групи Конвея , , , , HS McL He або F7+, або F7 Ru Suz або F3− O'N HN або F5+, або F5 Ly Th або F3|3, або F3 B або F2+, або F2 Группа «Монстр» Фішера-Грейса M або F1

Групу Тітса T іноді також вважають спорадичною групою (вона майже лієвого типу) і з цієї причини в деяких джерелах число спорадичних груп дається як 27, а не 26. За іншими джерелами групу Тітса не вважається ні спорадичною, ні групою Лієва типу.

Для всіх спорадичних груп побудовано матричні представлення над скінченними полями.

Найраніше вживання терміна «спорадична група» знайдено в Бернсайда, де він говорить про групи Матьє: «Ці, мабуть, прості спорадичні групи вимагають ретельнішого дослідження, ніж мали досі».

Діаграма праворуч ґрунтується на діаграмі Ронана. Спорадичні групи також мають багато підгруп, які не є спорадичними, але на діаграмі вони відсутні через їх величезну кількість.

Система З 26 спорадичних груп 20 містяться всередині групи «Монстр» як підгрупи або .

I. Парії Шість винятків J1, J3, J4, O'N, Ru і Ly іноді називають .

ІІ. Щаслива родина Решта двадцять груп називають Щасливою родиною (назву дав ) і їх можна розбити на три покоління.

Перше покоління (5 груп) — групи Матьє

Групи Mn для n = 11, 12, 22, 23 та 24 є кратно-транзитивними групами перестановок n точок. Усі вони є підгрупами групи M24 яка є групою перестановок 24 точок.

Друге покоління (7 груп) — ґратка Ліча Всі групи автоморфізмів ґратки в 24-вимірному просторі, яку називають ґраткою Ліча:

Co1 — фактор-група групи автоморфізмів за центром {±1} Co2 — стабілізатор вектора типу 2 (тобто довжини 2) Co3 — стабілізатор вектора типу 3 (тобто довжини √6) Suz — група автоморфізмів, що зберігають структуру (модуль центра) McL — стабілізатор трикутника типу 2-2-3 HS — стабілізатор трикутника типу 2-3-3 J2 — група автоморфізмів, що зберігають кватерніонну структуру (модуль за центром).

Третє покоління (8 груп) — інші підгрупи Монстра Складається з підгруп, тісно пов'язаних із Монстром M:

B або F2 має подвійне покриття, що є централізатором елемента порядку 2 в M Fi24′ має потрійне покриття, що є централізатором елемента порядку 3 в M (клас спряженості «3A») Fi23 є підгрупою Fi24′ Fi22 має подвійне покриття, яке є підгрупою Fi23 Добуток Th = F3 та групи порядку 3 є централізатором елемента порядку 3 в M (клас спряженості «3C») Добуток HN = F5 та групи порядку 5 є централізатором елемента порядку 5 в M Добуток He = F7 і групи порядку 7 є централізатором елемента порядку 7 у M Зрештою, вважають, що сам Монстр також належить до цього покоління.

(Ця серія продовжується і далі — добуток M12 та групи порядку 11 є централізатором елемента порядку 11 у M.)

також належить до цього покоління — існує підгрупа , що нормалізує 2C2 підгрупу B, що породжує підгрупу , яка нормалізує деяку підгрупу Q8 Монстра. є також підгрупою груп Фішера Fi22, Fi23 і Fi24′ та «малого Монстра» B. є підгрупою групи-парії Рудваліса Ru і не має інших залежностей із простими спорадичними групами, крім перерахованих вище.

Таблиця порядків спорадичних груп ГрупаПоколінняПорядок ()ЗначущихцифрРозкладТрійкастандартных генераторів (a, b, ab)Інші умовиF1 або Mтретє808017424794512875886459904961710757005754368000000000≈ 8246 • 320 • 59 • 76 • 112 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 712A, 3B, 29третє4154781481226426191177580544000000≈ 42C, 3A, 55третє1255205709190661721292800≈ 1221 • 316 • 52 • 73 • 11 • 13 • 17 • 23 • 292A, 3E, 29третє4089470473293004800≈ 4218 • 313 • 52 • 7 • 11 • 13 • 17 • 232B, 3D, 28третє64561751654400≈ 6217 • 39 • 52 • 7 • 11 • 132A, 13, 11третє90745943887872000≈ 9215 • 310 • 53 • 72 • 13 • 19 • 312, 3A, 19парія51765179004000000≈ 528 • 37 • 56 • 7 • 11 • 31 • 37 • 672, 5A, 14третє273030912000000≈ 3214 • 36 • 56 • 7 • 11 • 192A, 3B, 22Co1друге4157776806543360000≈ 4221 • 39 • 54 • 72 • 11 • 13 • 232B, 3C, 40друге42305421312000≈ 4218 • 36 • 53 • 7 • 11 • 232A, 5A, 28друге495766656000≈ 5210 • 37 • 53 • 7 • 11 • 232A, 7C, 17парія460815505920≈ 529 • 34 • 5 • 73 • 11 • 19 • 312A, 4A, 11друге448345497600≈ 4213 • 37 • 52 • 7 • 11 • 132B, 3B, 13Ruпарія145926144000≈ 1214 • 33 • 53 • 7 • 13 • 292B, 4A, 13третє4030387200≈ 4210 • 33 • 52 • 73 • 172A, 7C, 17друге898128000≈ 927 • 36 • 53 • 7 • 112A, 5A, 11друге44352000≈ 429 • 32 • 53 • 7 • 112A, 5A, 11парія86775571046077562880≈ 9221 • 33 • 5 • 7 • 113 • 23 • 29 • 31 • 37 • 432A, 4A, 37парія50232960≈ 527 • 35 • 5 • 17 • 192A, 3A, 19J2 или HJдруге604800≈ 627 • 33 • 52 • 72B, 3B, 7парія175560≈ 223 • 3 • 5 • 7 • 11 • 192, 3, 7перше244823040≈ 2210 • 33 • 5 • 7 • 11 • 232B, 3A, 23перше10200960≈ 127 • 32 • 5 • 7 • 11 • 232, 4, 23перше443520≈ 427 • 32 • 5 • 7 • 112A, 4A, 11перше95040≈ 126 • 33 • 5 • 112B, 3B, 11перше7920≈ 824 • 32 • 5 • 112, 4, 11

Примітки

Література

Випуски 1, 2, …

Посилання

Atlas of Finite Group Representations: Sporadic groups