Ознака стиснення Коші — названа на честь Огюстена-Луї Коші, є однією з ознак збіжності для нескінченних рядів.
Для незростаючої послідовності невід'ємних дійсних чисел, ряд збігається тоді й лише тоді, коли «ущільнений» ряд збігається. Крім того, якщо вони збігаються, то суми обмежені співвідношенням:
Доведення Погрупуємо доданки в групи з довжиною рівною степеню двійки (1, 2, 4, …):
Погрупуємо доданки результату в групи з довжиною рівною степеню двійки по іншому (2, 4, 8, …):
Порівняння інтегралів Заміна нагадує заміну змінної інтегрування , що дає .
По аналогії з інтегральною ознакою Маклорена — Коші, для монотонної функції : збігається тоді і лише тоді, якщо збігається.
Підстановка дає інтеграл . Оскільки , де права сторона відповідає застосуванню інтегральної ознаки до . Тому, збігається тоді і лише тоді, коли збігається.
Приклади Тест може бути корисним при наявності у знаменнику .
Найпростіший приклад: гармонійний ряд перетворюється в ряд :, який явно розбіжний.
У прикладі
Ряд є розбіжним для і збіжним для . Для , перетворення стиснення дає ряд
Тому за аналогією: ряд є розбіжним для , і збіжним для . При аналогічно працює значення .
Аналогічним є алгоритм визначення збіжності для узагальненого ряду Бертрана . Де означає -та ітерація функції , тобто: :
Узагальнення Шльомільха ...
Джерела Bonar, Khoury (2006). Real Infinite Series. Mathematical Association of America. . Cauchy condensation test proof