Загальне правило Лейбніца — в диференціальному численні, це узагальнення правила добутку для обчислення n-ої похідної. Назване на честь Готфріда Вільгельма Лейбніца.
Воно стверджує, що якщо та є -раз диференційовними функціями, тоді добуток також є -раз диференційовним і -та похідна рівна
де — біноміальний коефіцієнт, а позначає j-ту похідну від f (зокрема ).
Формула доводиться використанням правила добутку та математичної індукції.
Друга похідна
Більше двох множників Формула узагальнюється для m диференційовних функцій f1,...,fm.
сума береться по всіх m-кортежах (k1,...,km) не від'ємних цілих із де
— мультиноміальні коефіцієнти.
Доведення Доведення методом математичної індукції. Для формула:
справедлива, бо є відомим правилом добутку. Нехай твердження справедливе для деякого тобто
Тоді,
Тобто твердження справедливе для що і потрібно було довести.
Для функції багатьох змінних ...
Див. також Біном Ньютона Трикутник Паскаля Диференціювання (алгебра) Диференціальна алгебра Правило добутку Правило частки