Гіпоеліптичний оператор — диференціальний оператор у частинних похідних, фундаментальний розв'язок якого належить класу у всіх точках простору, крім початку координат.
Визначення Нехай — дійсний поліном від змінних
де і .
Узагальнена функція називається фундаментальним розв'язком диференціального оператора , якщо вона є розв'язком рівняння де — дельта-функція Дірака. Оператор називають гіпоеліптичним, якщо належить класу за всіх .
Визначимо відповідний диференціальний оператор:
де
Властивості Як визначення гіпоеліптичного оператора часто використовують такий критерій гіпоеліптичності: Теорема 1. Оператор є гіпоеліптичним тоді й лише тоді, коли для будь-якої відкритої ділянки будь-який розв'язок (узагальнена функція) рівняння
з будь-якою правою частиною також належить класу Також Германдер встановив такий алгебричний критерій гіпоеліптичності: Теорема 2. Оператор є гіпоеліптичним тоді й лише тоді, коли
для всіх де — уявна одиниця.
Приклади
Будь-який еліптичний оператор є гіпоеліптичним, наприклад, оператор Лапласа. Оператор теплопровідності є гіпоеліптичним, але не еліптичним. Оператор д'Аламбера не є гіпоеліптичним.
Примітки
Література