δ-функція — це узагальнена функція, формально визначається як неперервний лінійний функціонал у просторі диференційовних функцій. δ-функція не є функцією в класичному розумінні.
Введена англійським фізиком Діраком. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, електричний заряд, інтенсивність джерела тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в точці , евклідового простору , записується за допомогою δ-функції у вигляді .
Означення δ-функція визначається формальним співвідношенням
для будь-якої неперервної функції .
Властивості Для дельта-функції однієї змінної справедливі такі рівняння: . . . , де — нулі функції .
Інтегральне представлення У багатьох випадках зручним виявляється таке представлення дельта-функції:
Розглянемо інтеграл
, (1)
який можна інтерпретувати як границю
. (2)
Відомо, що
. (3)
Як наслідок з (3) для будь-якого справедлива рівність:
. (4)
Можна показати, що при необмеженому зростанні виявляються правильними всі властивості дельта-функції і функція (2) прямує до ; це дозволяє зробити висновок, що:
.
Похідна дельта-функції Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції :
.
Підставивши , одержимо вираз:
.
Після перетворення маємо:
.
Оскільки , одержуємо остаточний вираз
.
У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:
.
Для довільної дельта-функції справджуються наступні тотожності:
.
Перетворення Фур'є До дельта-функції можна застосувати перетворення Фур'є:
в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: .
Доведено, що похідна функції Гевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто Функція Гевісайда — первісна дельта-функції:
.
Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції
,
одержимо її образ у вигляді:
.
Представлення в різних координатах і системах відліку У двовимірному просторі:
.
У полярних координатах:
.
У тривимірному просторі:
.
У циліндричній системі:
.
У сферичній системі відліку:
.
Фізична інтерпретація
Миттєве прискорення Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на верхньому рисунку праворуч. На нижньому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.
Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:
.
Функція Гріна Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В квазікласичному наближенні хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траєкторіях за рівняннями Ньютона. Через дельта-функцію, також записується функція Гріна лінійного оператора , що діє на узагальнені функції над многовидом в точці . Рівняння має вигляд .
де — оператор Лапласа.
Важливо відмітити наступну формулу
,
де
— функція Гріна.
Цей вираз випливає з того, що веде себе подібно до дельта-функції.. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для скалярного потенціала:
задовольняє рівнянню Пуасона:
.
Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.
Див. також Функція Гевісайда
Література
Примітки