У небесній механіці інтеграл Якобі (також відомий як стала Якобі) є єдиною відомою величиною, що зберігається для обмеженої кругової задачі трьох тілBibliothèque nationale de France . . На відміну від задачі двох тіл де енергія та імпульс кожного тіла системи, що входить до її складу, не зберігаються окремо; така задача не має загального аналітичного рішення. Оскільки гравітаційна сила є однаковою, повна енергія (гамільтоніан), лінійний момент та кутовий момент ізольованої системи трьох тіл зберігаються.
Він був названий на честь німецького математика Карла Густава Якоба Якобі.
Визначення
Синодична система
Однією з релевантних систем координат, що використовується, є так звана синодична або обертова система координат. Вона розташована в барицентрі, з лінією, що поєднує дві маси μ1, μ2 , які обрані як вісь х, а одиниця довжини рівна їх відстані. Оскільки система обертається одночасно з двома масами, вони залишаються нерухомими та розташовані на (−μ2,0) і (+μ1,0).
У системі координат (x, y) стала Якобі виражається наступним чином:
де:
n = середній рух (орбітальний період T) μ1 = Gm1, μ2 = Gm2, для двох мас m1, m2 та гравітаційної сталої G r1, r2— відстані пробної частинки від двох мас
Зауважте, що інтеграл Якобі дорівнює подвоєній сумарній енергії на одиницю маси в обертовій системі відліку: перший член стосується відцентрової потенціальної енергії, другий гравітаційного потенціалу, а третій є кінетичною енергією. У цій системі відліку сили, які діють на частинку, є двома гравітаційними силами тяжіння: відцентровою силою та силою Коріоліса. Усі вони є консервативними, тому енергія, виміряна в цій системі відліку (і, отже, інтеграл Якобі) буде константою руху. Пряме обчислювальне підтвердження наведено нижче.
Сидерична система
В інерціальній сидеричній системі координат (ξ, η, ζ), маси обертаються навколо барицентру. Стала Якобі виражається як:
Доведення У системі ко-ротації, прискорення можна виразити як похідні однієї скалярної функції:
Використовуючи Лагранжеве представлення рівнянь руху:Множимо рівн. (), () і () на ẋ, ẏ і ż відповідно та додавання всіх трьох розв'язків:
Інтегрування отриманих розв'язків:
де CJ— стала інтегрування.
Ліва частина ─ квадрат швидкості v пробної частинки в ко-ротаційній системі.
Див. також
Обертова система відліку Точки Лагранжа Порожнина Роша Задача трьох тіл
Примітки
Бібліографія
Александров Ю. В. Небесна механіка. — Харків : ХНУ імені В. Н. Каразіна, 2003. — 252 с.