В елементарній алгебрі, квадратична формула (англ. Quadratic formula) — це вираз замкненої форми, що описує розв'язки задачі квадратного рівняння. Інші способи розв'язання квадратних рівнянь, такі як виділення квадрату, дають однакові рішення.
Дано загальне квадратне рівняння виду , де представляє невідоме, а коефіцієнти , і представляють відомі дійсні або комплексні числа при . Значення , яке називається коренем або нулем, можна знайти використовуючи квадратичну формулу,
де символ плюс-мінус «» вказує на те, що рівняння має два корені. Ось вони, окремо написані:
Частина відома як дискримінант квадратного рівняння. Якщо коефіцієнти , та є дійсними числами тоді при , рівняння має два різні дійсні корені; при , рівняння має один дійсний повторюваний корінь; і при , рівняння не має дійсних коренів, але має два різні комплексні корені, які є комплексно спряженими один одному.
Геометрично, корені представляють собою значення , при яких графік квадратичної функції , парабола, перетинає вісь : х-перетинів графіку. Квадратична формула також може бути використана для визначення вісь симетрії параболи.
Виведення шляхом виділення квадрату
Стандартний спосіб виведення квадратичної формули полягає в застосуванні методу виділення квадрату до загального квадратного рівняння .Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986). Ідея полягає в тому, щоб перетворити рівняння до вигляду для деяких виразів та , записаних через коефіцієнти, взяти квадратний корінь з обох сторін, а потім виділити .
Почнемо з ділення рівняння на квадратичний коефіцієнт , що дозволено, оскільки не є нулем. Потім ми віднімаємо постійний член , щоб виділити його в правій частині:
Ліва частина тепер має вигляд , і ми можемо «виділити квадрат», додавши константу для отримання двочлена в квадраті . У цьому прикладі ми додаємо в обидві сторони, щоб можна було факторизувати ліву частину (див. зображення):
Оскільки ліва частина тепер є ідеальним квадратом, ми можемо легко взяти квадратний корінь з обох сторін:
Нарешті, віднімання з обох сторін для виділення дає квадратичну формулу:
Еквівалентні формулювання Квадратична формула може бути еквівалентно записана за допомогою різних альтернативних виразів, наприклад
який можна отримати, спочатку розділивши квадратне рівняння на , в результаті чого отримаємо , а потім підставляємо нові коефіцієнти у стандартну квадратичну формулу. Оскільки цей варіант дозволяє повторно використовувати проміжно розраховану кількість , це може дещо зменшити кількість арифметики.
Квадратний корінь у знаменнику Менш відома квадратична формула, вперше згадана Джуліо Фаньяно,Зокрема, Фаньяно почав з рівняння і знайшов його розв'язки, які є (У 18 столітті квадрат умовно записувався як описує ті ж самі корені за допомогою рівняння з квадратним коренем у знаменнику (припускаючи, що ):
Тут знак мінус-плюс «» вказує на те, що двома коренями квадратного рівняння, в тому ж порядку, що і у стандартної квадратичної формули, є
Цей варіант було жартома названо формулою «citardauq» («quadratic» (англ. квадратична) задом наперед).
Коли має протилежний знак як або , віднімання може призвести до нищівного скасування, що призведе до низької точності числових розрахунків; вибір між варіантом квадратичної формули з квадратним коренем у чисельнику або знаменнику залежно від знаку дозволяє уникнути цієї проблеми. Див. нижче.
Ця версія квадратичної формули використовується у методі Мюллера для знаходження коренів загальних функцій. Її можна отримати за стандартною формулою з тотожності , одної з теорем Вієта. Крім того, її можна отримати, розділивши кожну частину рівняння на , щоб отримати , застосувавши стандартну формулу для знаходження двох коренів , а потім, взявши взаємність, знайти корені початкового рівняння.
Див. також Основна теорема алгебри Теорема Вієта
Нотатки
Примітки