У теорії ймовірностей теорема про необов'язкову зупинку (іноді також теорема Дуба про необов'язкове вибіркове спостереження, на честь американського ймовірнісника ) стверджує, що, за певних умов, математичне сподівання мартингала в момент зупинки дорівнює його початковому математичному сподіванню. Оскільки мартингали можуть використовуватись для моделювання статку гравця в чесній грі, теорема про необов'язкову зупинку стверджує, що в середньому нічого не можна виграти, зупиняючи гру на основі інформації, доступної до цього моменту (тобто без погляду в майбутнє). Для правильності цього результату необхідні певні умови. Зокрема, теорема застосовується до стратегій подвоєння.
Теорема про необов'язкову зупинку є важливим інструментом математичних фінансів у контексті .
Твердження Нижче наведено версію теореми для дискретного часу, де позначає множину натуральних чисел, включаючи нуль.
Нехай є дискретним мартингал, а — час зупинки з значеннями у }, обидва відносно фільтрації . Припустимо, що виконується одна з наступних трьох умов: () Час зупинки є майже напевно обмеженим, тобто існує константа , така що майже напевно. () Час зупинки має скінченне математичне сподівання, і умовні математичні сподівання абсолютної величини приростів мартингала майже напевно обмежені, а саме і існує константа , така що майже напевно на події } для всіх . () Існує константа , така що майже напевно для всіх де позначає оператор мінімуму. Тоді є майже напевно добре визначеною випадковою величиною, і
Аналогічно, якщо стохастичний процес є субмартингалом або супермартингалом і виконується одна з наведених умов, то
для субмартингала, і
для супермартингала.
Примітка За умови () можливо, що відбувається з позитивною ймовірністю. У цьому випадку визначається як майже напевно існуюча точкова границя , див. докази нижче для деталей.
Застосування Теорему про необов'язкову зупинку можна використати для доведення неможливості успішних стратегій ставок для гравця з обмеженим часом життя (що дає умову ()) або обмеженням на ставки (умова ()). Припустимо, що гравець може ставити до c доларів на чесне підкидання монети на часах 1, 2, 3 і т.д., виграючи свою ставку, якщо монета випаде орлом, і програючи її, якщо монета випаде решкою. Припустимо також, що він може припинити гру коли завгодно, але не може передбачити результат ще не зіграних підкидань. Тоді статок гравця з часом є мартингалом, а час , коли він вирішує припинити гру (або йому доводиться припинити через банкрутство), є часом зупинки. Таким чином, теорема стверджує, що . Іншими словами, гравець залишає гру з такою ж кількістю грошей в середньому, як і при початку. (Той самий результат діє, якщо у гравця замість обмеження на окремі ставки є обмеження на його кредитну лінію або на те, наскільки далеко він може зайти в борг, хоча це легше показати за допомогою іншої версії теореми.) Припустимо, що випадковий блукач починається в і рухається вгору або вниз на одиницю з рівною ймовірністю на кожному кроці. Припустимо також, що блукання зупиняється, якщо воно досягає або ; час, коли це вперше відбувається, є часом зупинки. Якщо відомо, що очікуваний час закінчення блукання є скінченним (скажімо, з теорії ланцюгів Маркова), теорема про необов'язкову зупинку передбачає, що очікувана кінцева позиція дорівнює початковій позиції . Розв'язуючи для ймовірності того, що блукання досягне до , отримуємо . Тепер розглянемо випадковий блукач , що починається з і зупиняється, якщо він досягає або , і використаємо мартингал з розділу прикладів. Якщо — це час, коли вперше досягає , то . Це дає . Однак, слід бути обережним, щоб забезпечити виконання хоча б однієї з умов теореми. Наприклад, припустимо, що в останньому прикладі було використано 'однобічний' час зупинки, так що зупинка відбувається лише при , а не при . Тоді значення в цей час зупинки буде . Тому очікуване значення повинно також дорівнювати , що, здається, суперечить теоремі, яка дає . Невиконання теореми про необов'язкову зупинку показує, що всі три умови не виконуються.
Доведення Нехай позначає , який також є мартингалом (або субмартингалом чи супермартингалом відповідно). За умовами () або () випадкова величина є добре визначеною. За умовою () зупинений процес обмежений, отже, за теоремою він сходиться майже напевно до випадкової величини, яку ми позначаємо як .
Якщо виконано умову (), то зупинений процес обмежений сталою випадковою величиною . В іншому випадку, розглядаючи зупинений процес як
отримуємо для всіх , де
.
За допомогою теорема монотонної збіжності
.
Якщо виконано умову (), то ця сума має лише кінчену кількість ненульових членів, тому є інтегрованим.
Якщо виконано умову (), то продовжуємо, вставляючи умовне математичне сподівання та використовуючи, що подія } відома в час (зауважте, що є часом зупинки щодо фільтрації), отже
де використано представлення математичного сподівання для випадкових величин, що набувають ненегативних цілих значень для останнього рівняння.
Отже, за будь-якою з трьох умов теореми зупинений процес домінує інтегрованою випадковою величиною . Оскільки зупинений процес сходиться майже напевно до , теорема теорема домінованої збіжності дає
За властивістю мартингала зупиненого процесу
отже
Аналогічно, якщо є субмартингалом або супермартингалом, відповідно, змінюється рівність у останніх двох формулах на відповідну нерівність.
Посилання
Зовнішні посилання Doob's Optional Stopping Theorem