Інтегрування з заміною змінної — спосіб знаходження інтеграла, що є аналогом знаходження похідної складеної функції в диференціальному численні.
Для визначеного інтеграла Якщо — диференційовна функція з неперервною похідною, де — інтервал; а також — неперервна функція. Тоді:
Для нової змінної обчислимо похідну: . Тоді новим диференціалом буде: .
Приклади Приклад 1 Обчислити
Введемо нову змінну Тоді та Це значно спрощує інтеграл:
де довільна стала інтегрування.
Приклад 2 Обчислити . Введемо нову змінну і отримаємо чи . Тому:
де довільна стала інтегрування.
Приклад 3: Первісні тангенса і котангенса
Знайти первісну функції .
Введемо нову змінну , обчислимо її диференціал і отримаємо:
Аналогічно знайдемо первісну .
Введемо нову змінну :
Приклад 4: Визначений інтеграл Обчислити . Введемо нову змінну , обчислимо , тобто Тоді:
Оскільки нижню межу замінили на а верхню на то зворотня заміна на непотрібна.
Див. також Підстановка тангенса півкута
Джерела