Характер — мультиплікативна комплекснозначна функція на групі. Інакше кажучи, якщо — група, то характер — це гомоморфізм з в мультиплікативну групу поля (зазвичай поля комплексних чисел).
Іноді розглядають тільки унітарні характери — гомоморфізми в мультиплікативну групу поля, образ яких лежить на одиничному колі, або, в разі комплексних чисел, гомоморфізми в . Решту гомоморфізмів у називають у такому разі квазіхарактерами.
Пов'язані визначення
Характер топологічної групи визначають як неперервний гомоморфізм у мультиплікативну групу поля. Відповідно, характер алгебричної групи — це раціональний гомоморфізм у
Характер представлення групи — близьке визначення для представлень груп, елемент відображається у слід свого представлення.
Властивості
Для довільної групи множина характерів утворює абелеву групу з операцією
Цю групу називають групою характерів.
Характери лінійно незалежні, тобто якщо — різні характери групи G, то з рівності випливає, що
Характери в U(1) Важливим частковим випадком характерів є відображення групи комплексних чисел, рівних за модулем одиниці. Такі характери мають вигляд , де , і широко вивчаються в теорії чисел у зв'язку з розподілом простих чисел у нескінченних арифметичних прогресіях. У цьому разі групою, що вивчається, є кільце лишків із операцією додавання, а функція лінійна. При цьому множина різних значень лінійного коефіцієнта функції визначає групу характерів, ізоморфну групі .
Класичним прикладом використання характерів за модулем є теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії.
Для нескінченних циклічних груп, ізоморфних , буде існувати безліч характерів виду , де .
Характери скінченнопороджених груп Для довільної скіннопородженої обелевої групи також можна явно і конструктивно описати безліч характерів . Для цього використовують теорему про розкладання такої групи у прямий добуток циклічних груп.
Оскільки будь-яка циклічна група порядку ізоморфна групі і її характери в завжди відображаються у множину , то для групи, представленої прямим добутком , циклічних груп , можна параметризувати характер як добуток характерів цих циклічних груп:
Це дає змогу провести явний ізоморфізм між групою та групою її характерів, що дорівнює їй за кількістю елементів.
Властивості характерів скінченних груп Для позначимо через характер, відповідний елементу за описаною вище схемою.
Справедливі такі тотожності:
Варіації та узагальнення Якщо — асоціативна алгебра над полем , характер — це ненульовий гомоморфізм алгебри в . Якщо при цьому — зоряна алгебра , то характер є зоряним гомоморфізмом у комплексні числа.
Див. також
Дуальність Понтрягіна
Примітки
Література