В евклідовому просторі відстань від точки до площини — відстань між даною точкою та її ортогональною проєкцією на площину, перпендикулярна відстань до найближчої точки на площині.
Її можна знайти, почавши з підстановки, яка зміщує початок координат у дану точку, а потім знайшовши на зміщеній площині точку, найближчу до початку координат. Отримана точка має декартові координати :
.
Відстань між початком координат і точкою є .
Перетворення загальної задачі на задачу відстані від початку координат Нехай потрібно знайти на площині точку, найближчу до точки (), і площину задано як . Визначимо , , та , щоб рівняння площини набуло вигляду . Тепер задача полягає в тому, щоб знайти на цій площині точку, найближчу до початку координат, та її відстань від початку координат. Координати точки на площині в початковій системі координат можна знайти, скориставшись співвідношеннями між і , між і та між і ; відстань у початкових координатах така ж, як і відстань у нових координатах.
Переформулювання в термінах лінійної алгебри Формулу для найближчої до початку координат точки можна виразити лаконічніше, скориставшись позначеннями з лінійної алгебри. Вираз у визначенні площини є скалярним добутком , і вираз що з'являється в розв'язку, є квадратом норми . Отже, якщо — заданий вектор, площину можна описати як множину векторів для яких , а найближча точка на цій площині до початку координат — це вектор
...
Евклідова відстань від початку координат до площини дорівнює нормі цієї точки,
.
Чому це найближча точка Як у координатному, так і у векторному формулюваннях перевірити, чи дана точка лежить на даній площині, можна, підставивши точку в рівняння площини.
Щоб переконатися, що це найближча до початку координат точка площини, зауважте, що скалярно кратний вектору , який визначає площину, тому ортогональний до площини. Отже, якщо — будь-яка точка на площині, окрім самої , то відрізки від початку координат до і від до утворюють прямокутний трикутник, а за теоремою Піфагора відстань від початку координат до дорівнює
.
Оскільки має бути додатним числом, то ця відстань більша за , відстань від початку координат до .
Як варіант, можна переписати рівняння площини, використовуючи скалярні добутки з замість початкового скалярного добутку з (оскільки ці два вектори є скалярно кратні один одному), після чого той факт, що — найближча точка, стає безпосереднім наслідком нерівності Коші — Шварца.
Найближча точка та відстань для гіперплощини та довільної точки Векторне рівняння гіперплощини в -вимірному евклідовому просторі , що містить точку , з вектором нормалі : або де . Відповідна декартова форма має вигляд де .
Найближча точка на цій гіперплощині до довільної точки
і відстань від до гіперплощини дорівнює
У декартовій формі найближчу точку задаємо як для де
,
і відстань від до гіперплощини є
.
Отже, в точка на площині найближча до довільної точки є , задана як
де
,
а відстань від точки до площини дорівнює
.
Див. також Відстань від точки до прямої
Примітки