У геометрії спільна розгортка — розгортка, з якої можна скласти кілька многогранників. Приклади спільних розгорток у дослідженнях датуються кінцем XX століття; попри це, їх знайдено небагато. Однак два класи досліджено глибоко: правильні многогранники та прямокутні паралелепіпеди. Знаходять спільні розгортки зазвичай або ретельним пошуком, або суміщаючи різні розгортки на площині.
довели, що кожен опуклий многогранник можна розгорнути і знову скласти в інший опуклий многогранник.
Існують два типи спільних розгорток: зі строгим та вільним розгортанням ребер. Строге розгортання стосується спільних розгорток, де різні многогранники, які можна скласти, використовують однакові складки: щоб скласти один многогранник із розгортки іншого, немає потреби робити нові складки. Вільне розгортання стосується протилежного випадку, коли можна зробити стільки складок, скільки потрібно, щоб забезпечити складання різних многогранників.
Кратність спільних розгорток означає кількість спільних розгорток для одного й того ж набору многогранників.
Правильні многогранники Відкрита задача 25.31 у книзі «» та Демейна звучить так:Чи можна будь-яке платонове тіло розрізати та розгорнути у многокутник, з якого потім можна скласти інше платонове тіло? Наприклад, чи можна розгорнути куб і скласти тетраедр?Цю задачу частково розв'язали Ширакава та інші за допомогою фрактальної розгортки, з якої, як припускають, можна скласти тетраедр і куб. Кратність Многогранники 1 Многогранники 2 Примітка тетраедр куб 87 тетраедр гіроподовжена квадратна біпіраміда (J17) 37 тетраедр (J84) куб тетрамоноедр куб прямокутні паралелепіпеди 1x1x7 та 1x3x3 куб неправильний октаедр октаедр тетрамоноедр октаедр тетрамоноедр октаедр тритетраедр ікосаедр тетрамоноедр
Неправильні многогранники
Кубоїди
Спільні розгортки кубоїдів глибоко дослідили Уехара та його колеги. Наразі знайдено спільні розгортки, з яких можна скласти до трьох прямокутних паралелепіпедів. Однак доведено, що існує нескінченна кількість розгорток, з яких можна скласти більше ніж один многогранник. ПлощаКратністьКубоїд 1Кубоїд 2Кубоїд 3Reference2264951x1x51x2x32231x1x51x2x30x1x11281x2x4√2x√2x3√230301x1x71x3x3√5x√5x√53010801x1x71x3x334112911x1x81x2x53823341x1x91x3x4465681x1x111x3x546921x2x71x3x55417351x1x133x3x35418061x1x131x3x6543871x3x63x3x358371x1x141x4x56251x3x72x3x564502x2x71x2x106462x2x72x4x47031x1x171x5x570111x2x111x3x8882182x2x101x4x888862x2x102x4x61604x4x8√10x2√10x2√105327x8x142x4x432x13x1617927x8x567x14x382x13x58 *Неортогональні складки
Полікуби Перші знайдені випадки спільних розгорток полікубів наведено у праці Джорджа Міллера з пізнішим внеском Дональда Кнута, який завершився головоломкою Кубігамі. Вона являє собою розгортку, з якої можна скласти всі 7 деревоподібних тетракубів. Знайдено всі можливі спільні розгортки аж до пентакубів. У всіх розгортках дотримано строгого ортогонального згортання, попри те, що їх усе ж вважають вільними розгортками. Площа Кратність Многогранники Довідка 14 29026 всі трикуби 14 всі трикуби 18 68 всі деревоподібні тетракуби 22 23 пентакуби 22 3 22 деревоподібні пентакуби 22 1 неплоскі пентакуби
Дельтаедри Дельтаедри — тривимірні симпліційні політопи. Площа Кратність Багатогранники Довідка 8 1 обидва 8-гранні дельтаедри 10 4 7-вершинний дельтаедр
Примітки