Логарифмом матриці називається матриця, експонента якої дорівнює початковій матриці. Логарифм матриці є узагальненням логарифма дійсних і комплексних чисел й у певному сенсі є оберненим до експоненти матриці.

Як у випадку експоненти матриці, яка є прикладом експоненційного відображення у теорії груп Лі:

Логарифм є частковим випадком оберненого відображення з групи Лі G в алгебру Лі Логарифми та експоненти є частковими випадками, де — загальній лінійній групі над полем дійсних чисел або — загальній лінійній групі над полем комплексних чисел. Тоді відповідна алгебра Лі є рівною відповідно або — усім квадратним матрицям із дійсними та комплексними елементами.

Означення

Експонента матриці A за означенням є рівною: .

Для вадратної матриці B, інша матриця A називається матричним логарифмом від , якщо . Оскільки експоненційна функція для комплексних чисел є періодичною із періодом (наприклад ), для кожного числа не рівного 0 існує нескінченна кількість комплексних логарифмів, і, як наслідок цього, для невиродженої матриці існує нескінченна кількість комплексних логарифмів і для дійсних матриць може бути більше одного дійсного логарифму.

Якщо матриця B є досить близькою до одиничної матриці, то логарифм B можна обчислити за допомогою степеневого ряду:

,

який можна записати як

.

Зокрема, якщо , то цей ряд є збіжним і Theorem 2.8.

Приклади: Логарифм матриць повороту на площині Логарифм матриць повороту у двовимірному просторі

Поворот на кут α навколо початку координат задається матрицею розмірності 2×2

Для будь-якого цілого числа n матриця

є логарифмом A.

⇔

де

...

Таким чином, матриця A має нескінченно багато логарифмів. Це узгоджується з тим фактом, що кут повороту визначається лише з кратністю 2π.

На мові теорії Лі матриці обертання A є елементами групи SO(2). Відповідні логарифми B є елементами алгебри Лі SO(2), елементами якої є кососиметричні матриці. Матриця

є генератором алгебри Лі so(2).

Логарифм матриць повороту у тривимірному просторі Обертання ∈ SO(3) у 3 задається за допомогою ортогональної матриці розмірності 3×3.

Логарифм такої матриці повороту можна легко обчислити з антисиметричної частини формули повороту Родрігеса, явно вираженої за допомогою кута повороту навколо осі. Таким чином одержується логарифм з мінімальною нормою Фробеніуса, однак цей метод не працює, коли має власні значення, рівні −1.

Для матриць матриці поворотів A і B, геодезична відстань на тривимірному многовиді матриць поворотів є рівною .

Існування

Для комплексної матриці логарифм існує тоді і тільки тоді, коли вона є невиродженою, Theorem 1.27. Логарифм не є єдиним, але якщо матриця немає від'ємних дійсних власних значень, існує єдиний логарифм, власні значення якого лежать на {z ∈ C | −π < Im z < π}. Цей логарифм відомий як "головний логарифм", Theorem 1.31.

Дійсна матриця має дійсний логарифм тоді і тільки тоді, коли вона є оборотною і кожен жордановий блок, що відповідає від'ємному власному числу у жордановій формі матриці зустрічається парну кількість разів. Якщо оборотна дійсна матриця не задовольняє цю умову, для неї існують лише комплексні логарифми. Зокрема у скалярному випадку жодне значення логарифму від −1 не є дійсним.

Властивості

Якщо матриці A і B є додатноозначеними, тоді

Якщо A і B комутують, тобто AB = BA, тоді

тоді і тільки тоді, коли , де є власним значенням для і відповідним власним значенням для Зокрема , якщо A і B комутують і обидві є додатноозначеними. Для B = A−1 зокрема

Для некомутуючих матриць і узагальненням цього э рівність Unpublished memo by S Adler (IAS)

Загалом розклад ряду за степенями можна отримати, використовуючи інтегральне значення логарифму

застосованого до і при .

Методи Обчислення логарифмів матриці Логарифм діагоналізовної матриці Метод знаходження ln A для діагоналізовної матриці A полягає в наступному: Знайдемо матрицю V власних векторів A (кожен стовпець V є власним вектором A). Знайдемо невироджену матрицю V−1 від V. Нехай

Тоді A буде діагональною матрицею, діагональні елементи якої є власними значеннями A. Замінивши кожен діагональний елемент A''' на його (натуральний) логарифм, одержується матриця . Тоді

Те, що логарифм A може бути комплексною матрицею, навіть якщо A є дійсною, випливає з того, що матриця з дійсними та додатними елементами може мати від'ємні або навіть комплексні власні значення (зокрема і для матриці повороту). Неоднозначність логарифму матриці випливає з неоднозначності логарифму комплексного числа.

Логарифм недіагоналізовної матриці Алгоритм, проілюстрований вище, не працює для недіагоналізованих матриць, таких як

Для таких матриць потрібно знайти її жорданову нормальну форму і замість обчислення логарифму діагональних елементів, як для діагональних матриць, обчислити логарифм Жорданової матриці.

Для цього можна записати жордановий блок у виді

де K — матриця з нулями на головній діагоналі та під нею. (Число λ є ненульовим, адже логарифм існує лише якщо матриця є невиродженаою).

Потім, з використанням ряду Меркатора

отримуємо

Цей ряд має скінченне число членів (Km дорівнює нулю, якщо m — розмірність K), і тому ряд є збіжним.

Використовуючи цей підхід, можна знайти

Це можна перевірити за допомогою експоненційного ряду:

Дійсні матриці розмірності 2 × 2 Якщо дійсна матриця розмірності 2×2 має від'ємний визначник, вона не має дійсного логарифму.

Будь-яка дійсна матрицю розмірності 2×2 належить одному із трьох типів z = x + y ε, де ε² ∈ { −1, 0, +1 }. z можна розглядати як точку на узагальненій комплексній площині.

Випадок, коли визначник від'ємний, виникає лише у площині з ε² =+1, тобто у площині гіперболічних чисел. Тільки одна чверть цієї площини є образом експоненціального відображення, тому логарифм визначається тільки в цій чверті (квадранті). Інші три квадранти є образами цього квадранта при четверній групі Кляйна, породженої ε і −1.

Наприклад, нехай a = log 2; тоді cosh a = 5/4 і sinh a = 3/4. Для матриць це означає, що . Отже, ця остання матриця має логарифм: .

Однак три інші матриці одержані дією 4-групи Кляйна на цю матрицю не мають логарифму: .

Невироджена матриця розмірності 2 x 2 необов'язково має логарифм, але вона може бути одержаною множенням матриці з 4-групи Кляйна визначеної вище і матриці, що має логарифм.

З цього також випливає, що, наприклад, квадратний корінь з матриці A розмірності 2 x 2 можна отримати безпосередньо експоненціюванням (log A'')/2,

Як інший приклад, нехай (p, q, r) є піфагоровою трійкою і нехай . Тоді .

Також . І тоді для матриці

існує логарифм, який є рівним: , де .

Примітки

Див. також Експонента матриці Квадратний корінь матриці Логарифм

Література

. .