Неви́роджена ма́триця (неособли́ва, несингуля́рна, інверто́вана) — квадратна матриця, визначник якої не дорівнює нулю:

Властивості Рядки і стовпці невиродженої матриці лінійно незалежні. Ранг матриці дорівнює розмірності матриці. У невиродженої матриці є обернена матриця. Це еквівалентно тому, що лінійний оператор, який задається матрицею А є бієкцією векторного простору. Якщо матриця — невироджена, то система рівнянь має тільки нульовий розв'язок. Матриця є невиродженою тоді і тільки тоді якщо всі її власні значення є ненульовими.

Приклад Одинична матриця є невиродженою. Матриця повороту є невиродженою.

Методи обернення матриці

Метод Гауса

Метод Ньютона

Метод Гамільтона — Келі Власний розклад матриці Розклад Холецького Аналітичний розв'язок Обернення блоками

Також матриці можна обернути блоками через використання такої формули:

де A, B, C і D це блоки матриці довільного розміру. (A і D повинні бути квадратними, щоб їх можна було обернути. Більше того, A і D−CA−1B повинна бути невиродженою.) Цей підхід особливо вигідний якщо A є діагональною і D−CA−1B (доповнення Щура щодо A) це маленька матриця, оскільки лише ці дві матриці потребують обернення.

Теорема виродженості говорить про те, що виродженість A дорівнює виродженості підблока в нижньому правому куті оберненої матриці, і що виродженість B дорівнює виродженості підблока в горішньому правому куті оберненої матриці.

Процедура обернення, що призвела до рівняння (1) виконувала блокові матричні операції, які спочатку працювали на C і D . Натомість, якщо почати з A і B, і за умови несингулярності D і A−BD−1C , результатом є

Прирівнявши (1) і (2) отримуємо

де рівняння (3) є лемою обернення матриці.

Оскільки поблокове обернення матриці потребує обернення двох матриць половинного розміру і 6 множень між матрицями половинного розміру, можна показати, що алгоритм розділяй та володарюй, який використовує поблокове обернення для обернення матриці виконується з такою ж часовою складністю, що й алгоритм множення матриць.

Через ряд Неймана

Див. також Теорія матриць Вироджена матриця Союзна матриця

Примітки

Джерела