Система лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами — система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, де похідні лінійно залежать від декількох функцій. Загальний вигляд:
, або у векторному записі: .
Розв'язання Однорідна система Для всіх лінійних диференціальних рівнянь діє принцип суперпозиції розвязків, тому шукаємо спочатку загальний розв'язок відповідної однорідної системи .
Як і в лінійних диференційних рівняннях зі сталими коефіцієнтами, використаємо ту саму здогадку Ейлера: якщо кожна похідна є сумою декількох функцій, і навпаки (кожна функція є сумою похідних інших функцій), то всі вони повинні бути одного виду, а це можливо лише для експонент (). Шукатимемо розв'язки вигляду .
Щоб виконувався принцип суперпозиції розвязків, розв'язки шукатимемо лише серед власних векторів матриці : .
Для цього потрібно знайти: всі власні значення (корені характеристичного многочлена ) та відповідні до них власні вектори .
Тоді базовими розв'язками будуть , які при підстановці в рівняння даватимуть тотожність:
Загальний розвязок буде лінійною комбінацією всіх базисних розв'язків: .
Неоднорідна система ...
Приклади Приклад 1
Запишемо його у матричній формі
Знайдемо власні значення:
Знайдемо власні вектори розв'язавши рівняння та :
Отже загальним розв'язком буде:
Тобто:
Стійкість
Для системи 2x2 характеристичне рівняня
Його корені
Якщо , то , і тоді їх власні вектори точно будуть не співпадати.
Матриця Власні значення Вл. зн. Тип точки Тип фазових траєкторій Малюнок Нестійкий вузол параболи Стійкий вузол параболи Сідло гіперболи Центр кола, еліпси Нестійкий фокус логарифмічні спіралі Стійкий фокус логарифмічні спіралі Нестійкий вузол (зірка) прямі Стійкий вузол (зірка) прямі , один власний вектор Вироджений стійкий вузол
Джерела