Лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами — лінійне диференціальне рівняння виду , де — певні сталі, — довільна функція.
Якщо — рівняння є однорідним лінійним диференційним рівнянням зі сталими коефіцієнтами.
Перетворення в систему диференційних рівнянь першого порядку Таке рівняння можна звести до системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами замінивши похідні окремими функціями і добавивши рівняння .
У початкового рівняння і утвореної системи, характеристичний многочлен буде тим самим.
Однорідне рівняння Леонард Ейлер, який запровадив показникову функцію , що є єдиним розв'язком рівняння , так, щоб , був першим дослідником цього рівняння. Він зрозумів: щоб сума кількох похідних функції дорівнювала нулю, похідні повинні мати ту ж форму, що й функція. Оскільки -на похідна дорівнює , то, якщо вдасться врівноважити ці похідні, це дозволить розв'язати однорідне рівняння.
Шукатимемо розв'язки вигляду , де — комплексне число. Підстановка цієї пробної функції в рівняння дає характеристичне рівняння .
Скоротивши множник (який ніколи не дорівнює 0), шукаємо корені характеристичного многочлена.
Це алгебраїчне характеристичне рівняння , було розглянуто пізніше Гаспаром Монжем і Огюстеном-Луї Коші.
Многочлен n-го степеня має n комплексних коренів . Якщо серед коренів немає кратних, то функції
є розв'язками. Застосовуючи визначник Вандермонда, можна показати, що вони є лінійно-незалежними.
Оскільки однорідне лінійне диференціальне рівняння підпорядковане принципу суперпозиції, то будь-яка лінійна комбінація розв'язків також є розв'язком рівняння. Розв'язки утворюють базис в просторі всіх розв'язків диференціального рівняння.
Загальний розв'язок однорідного диференційного рівняння записується у вигляді , де — довільні сталі.
Якщо серед коренів є кратні, то , де — многочлен степеня, не вищого за k, де k — кратність i-го кореня.
Якщо коефіцієнти диференціального рівняння дійсні, то перевагу віддаємо дійснозначним розв'язкам. Оскільки комплексні (не дійсні) корені сполучені в пари спряжених, як і відповідні базисні функції, , то бажаний результат одержимо заміною кожної пари дійсною лінійною комбінацією з і , де y — одна з функцій пари.
Випадки, що включають комплексні корені, можуть бути розглянуті за допомогою формули Ейлера.
Приклад
має характеристичне рівняння
Його корені i, -i, й 1 (кратності 2). Базис розв'язків
Відповідний дійснозначний базис
Приклади
Дано, . Характеристичне рівняння має корені 2 + і і 2 — і. Таким чином, базис розв'язків є . Тепер у є розв'язком тоді і тільки тоді для .
Оскільки коефіцієнти дійсні, ми, ймовірно, не зацікавлені в комплексних розв'язках наші базисні елементи взаємно спряжені Лінійні комбінації
і
дають нам дійсний базис .
Простий гармонічний осцилятор
Диференціальне рівняння другого порядку
що описує простий гармонічний осцилятор, можна переформулювати
Вираз в дужках може бути факторизований, що дає
це рівняння має пару лінійно незалежних розв'язків, один для
інший для
Розв'язки, відповідно,
та
Ці розв'язки є базисом двовимірного «простору розв'язків» диференціального рівняння другого порядку. Крім того, для
та
-останні тригонометричні розв'язки лінійно незалежні, а тому можуть слугувати іншим базисом простору розв'язків, що дає таку загальну форму розв'язку:
Затухаючий гармонічний осцилятор
Враховуючи рівняння затухаючого гармонічного осцилятора:
отримаємо спочатку характеристичне рівняння формальною заміною D на λ. Це рівняння має виконуватися для всіх у, наступним чином:
Розв'яжемо:
Використаємо ці дані для розкладу вихідного диференціального рівняння:
Це визначає пару рішень, з яких одне відповідає
а інше
Розв'язки, відповідно,
та
де ω = B / 2. З цієї пари лінійно незалежних рішень можна побудувати іншу лінійно незалежну пару, що таким чином, слугуватиме базисом для двовимірного простору рішень:
Однак, якщо | ω | <| ω 0 |, то бажано позбутися уявних частин, виражаючи загальний розв'язок як
Останній розв'язок відповідає слабко затухаючому випадку, тоді як попередній відповідає сильно затухаючому разі: розв'язок для слабко загальмованого випадку коливатиметься, а для розв'язку сильно загальмованого випадку це не так.
Неоднорідне рівняння
Щоб отримати розв'язок неоднорідного рівняння, слід знайти частковий розв'язок неоднорідного рівняння або методом невизначених коефіцієнтів, або методом варіації довільних сталих; загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння є сумою загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і часткового неоднорідного. Якщо ж задані початкові умови, можна застосувати перетворення Лапласа для отримання конкретного розв'язку безпосередньо.
Припустимо, нам дано
Для подальших обчислень, виділимо характеристичний многочлен
Ми знайдемо базис розв'язків як і в однорідному (F (X) = 0) випадку. Частковий розв'язок у р (х) одержимо методом варіації сталих. Нехай коефіцієнти лінійної комбінації є функціями від х:
Для зручності позначень будемо опускати залежність від х (тобто, частини звичного запису вигляду (х)). Використовуючи операторний запис і вільно використовуючи позначення, дане рівняння набуде вигляду , тож
З обмеженнями
параметри виносяться, після чого залишається дещо «зайве»:
Але , тому
Це, з обмеженнями, дає лінійну система за . ЇЇ, насправді, завжди можна розв'язати поєднуючи методи Крамера і Вронського,
Решта зводиться до інтегрування
частковий розв'язок не є єдиним, також задовольняє рівняння для будь-якого набору констант з основного поля.
Приклад Покладемо, . Ми візьмемо базис розв'язку, знайдений вище .
Використовуючи список інтегралів від експоненціальних функцій,
І тому
Задля інтересу зазначимо, це рівняння має фізичний зміст, описує вимушений гармонічний осцилятор, з тертям; ур представляє стійкий стан, а є перехідним станом.
Джерела