У статистиці проста випадкова вибірка (англ. simple random sample, SRS, або ПВВ) — це підмножина окремих одиниць (вибірка), відібрана з більшої множини (генеральної сукупності), у якій підмножина одиниць обирається випадково, причому всі мають однакову ймовірність бути відібраними. Це процес відбору вибірки випадковим способом. У простій випадковій вибірці кожна підмножина з 𝑘 одиниць має ту саму ймовірність бути обраною до вибірки, що й будь-яка інша підмножина з 𝑘 одиниць.Yates, Daniel S.; David S. Moore; Daren S. Starnes (2008). The Practice of Statistics, 3rd Ed. Freeman. ISBN 978-0-7167-7309-2. Проста випадкова вибірка є базовим видом вибіркового спостереження і може бути складовою інших, більш складних методів вибірки.Thompson, Steven K. (2012). Sampling. Wiley series in probability and statistics (3rd ed.). Hoboken, N.J: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-16293-4.

Вступ

Принцип простої випадкової вибірки полягає в тому, що кожна підмножина з однаковою кількістю елементів має однакову ймовірність бути обраною. Наприклад, припустімо, що 𝑁 студентів коледжу хочуть отримати квитки на баскетбольний матч, але для них є лише 𝑋<𝑁 квитків, тож вони вирішують застосувати справедливий спосіб визначити, хто піде на гру. Тоді кожному присвоюють номер у діапазоні від 0 до 𝑁−1, а випадкові числа генеруються або електронно, або за таблицею випадкових чисел. Числа поза діапазоном від 0 до 𝑁−1 ігноруються, так само як і числа, які вже були обрані раніше. Перші 𝑋 чисел і визначать щасливих власників квитків.

У малих сукупностях, а часто й у великих, такий відбір зазвичай проводиться без повернення, тобто свідомо уникають вибору одного й того самого елемента більше ніж один раз. Хоча просту випадкову вибірку можна проводити й із поверненням, це менш поширено і зазвичай описується детальніше як «проста випадкова вибірка з поверненням». Вибірка без повернення вже не складається з незалежних спостережень, але все ще задовольняє властивість обмінності, тож більшість результатів математичної статистики залишаються чинними. Крім того, для малої вибірки з великої генеральної сукупності відбір без повернення практично еквівалентний відбору з поверненням, оскільки ймовірність вибрати того самого індивіда двічі дуже мала. Підручники з методології вибіркових обстежень зазвичай розглядають просту випадкову вибірку без повернення як еталон для обчислення відносної ефективності інших методів вибіркового відбору.Cochran, William Gemmell (1977). Sampling techniques. Wiley series in probability and mathematical statistics (3d ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-16240-7.

Неупереджений випадковий відбір одиниць важливий для того, щоб за великої кількості можливих вибірок середня вибірка адекватно відображала генеральну сукупність. Однак це не гарантує, що саме конкретна вибірка буде «ідеальним» відображенням сукупності. Проста випадкова вибірка лише дає змогу робити зовнішньо валідні висновки про всю генеральну сукупність на основі вибірки. Це поняття можна поширити й на випадок, коли генеральною сукупністю є географічна територія.Cressie, Noel A. C. (2015). Statistics for spatial data (Revised ed.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-1-119-11517-5. У такому разі застосовують територіальні (просторові) рамки вибірки.

За своєю суттю проста випадкова вибірка є найпростішою з імовірнісних технік відбору. Вона потребує повної рамки вибірки, яка може бути недоступною або надто складною для побудови у випадку великих сукупностей. Навіть якщо повна рамка вибірки є, можуть існувати ефективніші підходи, якщо доступна додаткова корисна інформація про одиниці сукупності.

Перевагами є те, що метод не містить помилок класифікації і вимагає мінімальних попередніх знань про сукупність, окрім самої рамки. Через простоту він також полегшує інтерпретацію зібраних даних. З цих причин проста випадкова вибірка найкраще підходить для ситуацій, коли про генеральну сукупність мало інформації, а збирання даних можна ефективно проводити на випадково розподілених одиницях, або коли вартість відбору є настільки низькою, що ефективність менш важлива, ніж простота. Якщо ці умови не виконуються, кращим вибором може бути стратифікована вибірка або серійна вибірка.

Зв'язок між простою випадковою вибіркою та іншими методами Вибірка з рівними ймовірностями Метод вибірки, за якого кожна окрема одиниця має однаковий шанс бути відібраною, називається вибіркою з рівними ймовірностями (equal probability sampling скорочено англ. epsem).

Використання простої випадкової вибірки завжди приводить до epsem-вибірки, але не всі epsem-вибірки є простими випадковими вибірками (SRS). Наприклад, якщо вчителька має клас, розсаджений у 5 рядів по 6 учнів у кожному, і хоче випадково відібрати 5 учнів, вона може навмання обрати один із 6 стовпців. Це буде epsem-вибірка, але тут не всі підмножини з 5 учнів однаково ймовірні, оскільки для відбору придатні лише ті підмножини, які утворюють один стовпець. Існують також способи побудови багатоступеневої вибірки, які не є простими випадковими вибірками, тоді як підсумкова вибірка буде epsem.Peters, Tim J., and Jenny I. Eachus. "Achieving equal probability of selection under various random sampling strategies." Paediatric and perinatal epidemiology 9.2 (1995): 219-224. Наприклад, систематична випадкова вибірка дає вибірку, у якій кожна одиниця має однакову ймовірність потрапити до вибірки, але різні набори одиниць мають різні ймовірності бути відібраними.

Вибірки типу epsem є самозваженими, тобто обернена величина ймовірності відбору для кожної вибірки однакова. Відмінність між систематичною випадковою вибіркою та простою випадковою вибіркою

Розгляньмо школу з 1000 учнів і припустімо, що дослідник хоче відібрати 100 із них для подальшого вивчення. Усі їхні імена можна покласти до коробки, а потім випадково витягти 100 імен. Кожен учень не лише має однаковий шанс бути відібраним, ми також можемо легко обчислити ймовірність 𝑃 вибору певного учня, оскільки знаємо обсяг вибірки 𝑛 та чисельність генеральної сукупності 𝑁:

1. У випадку, коли кожного учня можна вибрати лише один раз (тобто після вибору його вилучають із множини можливих виборів):

2. У випадку, коли кожного вибраного учня повертають до множини можливих виборів (тобто його можна обрати більше ніж один раз):

Це означає, що за будь-якого підходу кожен учень у школі має приблизно шанс 1 із 10 бути відібраним за цим методом. Крім того, будь-яка комбінація зі 100 учнів має однакову ймовірність бути обраною.

Якщо в випадковий відбір уводиться систематичний порядок, говорять про систематичну (випадкову) вибірку. Наприклад, нехай біля прізвищ учнів школи стоять номери від 0001 до 1000, і ми обираємо випадкову початкову точку, скажімо 0533, а потім беремо кожне 10-те ім’я, щоб отримати вибірку зі 100 учнів (починаючи знову з 0003 після досягнення 0993). У цьому сенсі такий підхід подібний до гніздової (кластерної) вибірки, оскільки вибір першої одиниці визначає всі наступні. Це вже не проста випадкова вибірка, тому що деякі комбінації зі 100 учнів мають більшу ймовірність відбору, ніж інші: наприклад, множина {3, 13, 23, ..., 993} має шанс 1/10 бути обраною, тоді як множина {1, 2, 3, ..., 100} за цим методом ніколи не може бути відібрана.

Алгоритми Було розроблено кілька ефективних алгоритмів простої випадкової вибірки.Tille, Yves; Tillé, Yves (2006-01-01). Sampling Algorithms - Springer. Springer Series in Statistics. doi:10.1007/0-387-34240-0. ISBN 978-0-387-30814-2.Meng, Xiangrui (2013). "Scalable Simple Random Sampling and Stratified Sampling" (PDF). Proceedings of the 30th International Conference on Machine Learning (ICML-13): 531–539. Наївним є покроковий алгоритм, у якому на кожному кроці елемент із множини вилучається з однаковою ймовірністю й додається до вибірки. Процес триває доти, доки не буде отримано вибірку бажаного розміру 𝑘. Недолік цього методу полягає в тому, що він вимагає випадкового доступу до елементів множини.

Алгоритм відбору з відкиданням, розроблений Фаном та співавторами у 1962 році,Fan, C. T.; Muller, Mervin E.; Rezucha, Ivan (1962-06-01). "Development of Sampling Plans by Using Sequential (Item by Item) Selection Techniques and Digital Computers". Journal of the American Statistical Association. 57 (298): 387–402. doi:10.1080/01621459.1962.10480667. ISSN 0162-1459. потребує лише одного проходу по даних; однак це послідовний алгоритм, який вимагає знання загальної кількості елементів 𝑛, що недоступно в потокових сценаріях.

Дуже простий алгоритм випадкового сортування був доведений Сантером у 1977 році.Sunter, A. B. (1977-01-01). "List Sequential Sampling with Equal or Unequal Probabilities without Replacement". Applied Statistics. 26 (3): 261–268. doi:10.2307/2346966. JSTOR 2346966. Алгоритм просто присвоює кожному елементу випадкове число, вибране з рівномірного розподілу (0,1), як ключ, після чого всі елементи сортуються за цим ключем, і обираються найменші 𝑘 елементів.

Дж. Віттер у 1985 роціVitter, Jeffrey S. (1985-03-01). "Random Sampling with a Reservoir". ACM Trans. Math. Softw. 11 (1): 37–57. CiteSeerX 10.1.1.138.784. doi:10.1145/3147.3165. ISSN 0098-3500. запропонував алгоритми так званої резервуарної вибірки (reservoir sampling), які нині широко використовуються. Ці алгоритми не потребують попереднього знання розміру генеральної сукупності 𝑛 і використовують сталий обсяг пам’яті.

Випадковий відбір також можна прискорити, здійснюючи вибірку з розподілу проміжків між відібраними елементамиVitter, Jeffrey S. (1984-07-01). "Faster methods for random sampling". Communications of the ACM. 27 (7): 703–718. CiteSeerX 10.1.1.329.6400. doi:10.1145/358105.893. ISSN 0001-0782. і пропускаючи ці проміжки. References