Інваріантна міра — в теорії динамічних систем міра, визначена у фазовому просторі, яка пов'язана з динамічною системою і не змінюється з часом при еволюції стану динамічної системи у фазовому просторі. Поняття інваріантної міри застосовують при усередненні рівнянь руху, в теорії показників Ляпунова, в теорії метричної ентропії та ймовірнісних фрактальних розмірностей.
Визначення У теорії динамічних систем, міра на просторі називається інваріантною для вимірного відображення , якщо вона збігається зі своїм . В силу визначення це означає, що
Для оборотних відображень перехід до прообразу (*) можна замінити на перехід до образу: якщо відображення також вимірне в сенсі , то еквівалентним є визначення
Однак у загальному випадку так змінювати визначення не можна: міра Лебега на колі інваріантна відносно , проте міра дуги відмінна від міри її образу .
Приклади
Відображення . Рівняння Перрона — Фробеніуса для нього має вигляд . Підставляючи цей вираз у його ж праву частину, маємо: . Повторюючи цю підстановку разів, маємо: . Ця міра стійка, тобто довільна неперервна міра буде збігатися до неї. Відображення або , . Існування стійкої неперервної інваріантної міри з доводиться аналогічно. Логістичне відображення , . Робимо заміну , , маємо , , що можна перетворити до вигляду (1). Отже, для існує неперервна стала густина ймовірності . Густина ймовірності для випливає з неї: .
Примітки
Література
Див. також Теорема Крилова — Боголюбова Теорема Біркгофа — Хінчина Альтернатива Жиса — Маргуліса