Нерівність Вайценбека — названа на честь математична нерівність, яка стверджує, що для трикутника зі сторонами , , та площею , справджується таке співвідношення:
Рівність має місце тоді й лише тоді, коли трикутник є рівностороннім. є узагальненням нерівності Вайценбека. є її підсиленою версією.
Геометрична інтерпретація та доведення Переписування наведеної вище нерівності дає змогу отримати більш наочну геометричну інтерпретацію, яка, у свою чергу, забезпечує безпосереднє доведенняClaudi Alsina, Roger B. Nelsen: Geometric Proofs of the Weitzenböck and Hadwiger–Finsler Inequalities. Mathematics Magazine, Vol. 81, No. 3 (Jun., 2008), pp. 216–219 (JSTOR) .
Тепер доданки в лівій частині є площами рівносторонніх трикутників, побудованих на сторонах початкового трикутника; отже, нерівність стверджує, що сума площ цих рівносторонніх трикутників завжди більша або дорівнює потрійній площі вихідного трикутника:
Це можна показати, відтворивши площу трикутника тричі всередині рівносторонніх трикутників. Для цього використовують точку Ферма, щоб розбити трикутник на три тупокутні під-трикутники з кутом , і кожен з них відтворюють тричі всередині сусіднього рівностороннього трикутника. Це працює лише тоді, коли всі кути трикутника менші за , оскільки інакше точка Ферма не лежить у внутрішності трикутника і збігається з однією з його вершин. Однак якщо один кут є більшим або рівним , то весь трикутник можна відтворити тричі всередині найбільшого рівностороннього трикутника, тож сума площ усіх рівносторонніх трикутників у будь-якому разі залишається більшою за потрійну площу трикутника.
Подальші доведення Доведення цієї нерівності було запропоноване як задача на Міжнародній математичній олімпіаді 1961 року. Попри це, результат не є надто складним для виведення з використанням формули Герона для площі трикутника:
Перший метод
Можна показати, що площа внутрішнього трикутника Наполеона, яка має бути невід'ємною, дорівнюєCoxeter, H.S.M., and Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited, page 64.
отже, вираз у дужках має бути більшим або рівним нулю.
Другий метод
Цей метод не передбачає знання жодних нерівностей, окрім того факту, що всі квадрати є невід'ємними.
і результат безпосередньо випливає після взяття додатного квадратного кореня з обох частин. Із першої нерівності також видно, що рівність має місце лише тоді, коли і трикутник є рівностороннім.
Третій метод
Це доведення передбачає знання нерівності середнього арифметичного та геометричного.
Оскільки використано нерівність середнього арифметичного та геометричного, рівність має місце лише тоді, коли і трикутник є рівностороннім.
Четвертий метод
Запишемо , тоді сума та тобто . Але , тому .
Див. також Перелік нерівностей трикутників Ізопериметрична нерівність
Примітки
Джерела та додаткове читання Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, , pp. 84-86 Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Geometric Proofs of the Weitzenböck and Hadwiger–Finsler Inequalities. , Vol. 81, No. 3 (Jun., 2008), pp. 216–219 (JSTOR) D. M. Batinetu-Giurgiu, Nicusor Minculete, Nevulai Stanciu: Some geometric inequalities of Ionescu-Weitzebböck type. International Journal of Geometry, Vol. 2 (2013), No. 1, April D. M. Batinetu-Giurgiu, Nevulai Stanciu: The inequality Ionescu — Weitzenböck. MateInfo.ro, April 2013, (онлайн-версія) : On Some Geometrical Inequalities. The Mathematical Gazette, Vol. 26, No. 272 (Dec., 1942), pp. 202—208 (JSTOR) : Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie. , Volume 5, 1919, pp. 137—146 (online copy at ) Dragutin Svrtan, Darko Veljan: Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities. Forum Geometricorum, Volume 12, 2012, pp. 197—209 (онлайн-версія) Mihaly Bencze, Nicusor Minculete, Ovidiu T. Pop: New inequalities for the triangle. Octogon Mathematical Magazine, Vol. 17, No.1, April 2009, pp. 70-89 (онлайн-версія )
Посилання
«Weitzenböck's Inequality,» інтерактивна демонстрація Джея Варендорфа — .