У математиці похідна Шварца (шварціан) — це оператор, подібний до похідної, який є інваріантним відносно перетворень Мебіуса. Тому він з’являється в теорії комплексної проєктивної прямої і, зокрема, в теорії модулярних форм та гіпергеометричних функцій. Він відіграє важливу роль у теорії унівалентних функцій, конформних відображень та просторів Тейхмюллера. Названий на честь німецького математика Германа Шварца.
Визначення Похідна Шварца голоморфної функції однієї комплексної змінної визначається формулою
Та сама формула також визначає похідну Шварца для -функції однієї дійсної змінної. Часто використовується альтернативне позначення
.
Властивості Похідна Шварца будь-якого перетворення Мебіуса
дорівнює нулю. Навпаки, перетворення Мебіуса — єдині функції з цією властивістю. Отже, похідна Шварца точно вимірює, наскільки функція не є перетворенням Мебіуса.Thurston, William P. "Zippers and univalent functions." The Bieberbach conjecture (West Lafayette, Ind., 1985) 21 (1986): 185-197.
Якщо — перетворення Мебіуса, то композиція має ту саму похідну Шварца, що й ; з іншого боку, похідна Шварца композиції задається правилом ланцюга
Більш загально, для будь-яких достатньо диференційовних функцій та
Коли та — гладкі дійснозначні функції, це означає, що всі ітерації функції з від’ємним (або додатним) шварціаном залишатимуться від’ємними (відповідно додатними), — факт, корисний у дослідженні одновимірної динаміки.[http://mathworld.wolfram.com/SchwarzianDerivative.html Weisstein, Eric W. "Schwarzian Derivative." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.]
Введемо функцію двох комплексних змінних
тоді її друга змішана частинна похідна дорівнює
а похідна Шварца задається формулою:
Похідна Шварца має просту формулу інверсії, що міняє місцями залежну та незалежну змінні. Маємо
або більш явно, . Це випливає з наведеного вище правила ланцюга.
Геометрична інтерпретація Вільям Терстон інтерпретує похідну Шварца як міру того, наскільки конформне відображення відхиляється від перетворення Мебіуса. Нехай — конформне відображення в околі точки Тоді існує єдине перетворення Мебіуса таке, що і мають однакові похідні 0-, 1- та 2-го порядків у точці
Тоді Щоб явно знайти достатньо розв’язати випадок Нехай і знайдемо , які роблять перші три коефіцієнти рівними Підставивши це в четвертий коефіцієнт, дістаємо .
З огляду на те, щодо третього порядку, ця функція відображає коло на криву . Це приблизно еліпс із півосями . Оскільки перетворення Мебіуса завжди переводять кола в кола або прямі, перетворення Мебіуса вимірює, наскільки відхиляється від перетворення Мебіуса, адже воно переводить кола в некруглі криві.
Подвійне відношення Для диференційовної функції вона перетворює подвійне відношення . Воно інваріантне відносно перетворення Мебіуса:Загалом, якщо 4 точки нескінченно близькі, то перетворення має виглядзокрема, це можна інтерпретувати як квадратичну диференціальну форму. Це негайно дає правило ланцюга
Диференціальне рівняння Розглянемо лінійне другопорядкове звичайне диференціальне рівняння
де — дійснозначна функція дійсного параметра . Нехай позначає двовимірний простір розв’язків. Для нехай — функціонал обчислення значення . Відображення задає для кожної точки області визначення одновимірний лінійний підпростір простору . Тобто ядро визначає відображення з дійсної прямої в дійсну проєктивну пряму. Похідна Шварца цього відображення коректно визначена і фактично дорівнює .
Завдяки цій інтерпретації шварціана, якщо два дифеоморфізми одного й того самого відкритого інтервалу в мають однакову похідну Шварца, то вони (локально) пов’язані елементом загальної лінійної групи, що діє на двовимірному просторі розв’язків одного й того самого диференціального рівняння, тобто дробово-лінійним перетворенням .
Або ж розглянемо лінійне звичайне диференціальне рівняння другого порядку в комплексній площині
Нехай і — два лінійно незалежні голоморфні розв’язки. Тоді відношення задовольняє
на області визначення, де задані і , та Обернене твердження також істинне: якщо така існує й є голоморфною на однозв’язній області, то можна знайти два розв’язки та , і до того ж вони визначені з точністю до спільного множника масштабу.
Коли лінійне звичайне диференціальне рівняння другого порядку можна звести до наведеної форми, отриману інколи називають Q-значенням рівняння.
Зауважимо, що гіпергеометричне диференціальне рівняння Гауса можна звести до цієї форми, і тому пари розв’язків гіпергеометричного рівняння пов’язані таким чином.
Умови унівалентності Якщо — голоморфна функція в одиничному диску , то В. Краус (1932) та Негарі (1949) довели, що необхідною умовою для унівалентності є
Навпаки, якщо — голоморфна функція на така, що
то Негарі довів, що є унівалентною.
Зокрема, достатньою умовою унівалентності є
Конформне відображення многокутників із дугами кіл
Похідну Шварца та пов’язане з нею звичайне диференціальне рівняння другого порядку можна використати, щоб знайти єдине конформне відображення між верхньою півплощиною або одиничним диском і будь-яким обмеженим многокутником у комплексній площині, ребра якого є дугами кіл або прямими. Для многокутників із прямими ребрами це зводиться до відображення Шварца—Крістоффеля, яке можна вивести безпосередньо без використання похідної Шварца. Так звані додаткові параметри (accessory parameters), що виникають як сталі інтегрування, пов’язані з власними значеннями відповідного диференціального рівняння другого порядку. Ще у 1890 році Фелікс Кляйн досліджував випадок чотирикутників у термінах диференціального рівняння Ламе.
Нехай — многокутник із дугами кіл із кутами у порядку за годинниковою стрілкою. Нехай — голоморфне відображення, що неперервно продовжується до відображення меж. Нехай вершинам відповідають точки на дійсній осі. Тоді є дійснозначною, коли — дійсне і відмінне від усіх точок . За принципом відбиття Шварца продовжується до раціональної функції на комплексній площині з подвійним полюсом у :
Дійсні числа називають додатковими параметрами. Вони підпорядковуються трьом лінійним обмеженням:
що відповідають зануленню коефіцієнтів при та у розкладі біля . Тоді відображення можна подати як
де і — лінійно незалежні голоморфні розв’язки лінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку
Існує лінійно незалежних додаткових параметрів, які на практиці може бути складно визначити.
Для трикутника, коли , додаткових параметрів немає. Звичайне диференціальне рівняння еквівалентне гіпергеометричному диференціальному рівнянню, а є трикутною функцією Шварца, яку можна записати через гіпергеометричні функції.
Для чотирикутника додаткові параметри залежать від однієї незалежної змінної . Записуючи для відповідного вибору , рівняння набуває вигляду
Отже є власними функціями задачі Штурма—Ліувілля на інтервалі . За теоремою Штурма про розділення, ненульовість змушує бути найменшим власним значенням.
Комплексна структура на просторі Тейхмюллера Універсальний простір Тейхмюллера визначається як простір дійсно аналітичних квазіконформних відображень одиничного диска , або еквівалентно верхньої півплощини , у себе, причому два відображення вважаються еквівалентними, якщо на межі одне отримується з іншого композицією з перетворенням Мебіуса. Ототожнюючи з нижньою півсферою сфери Рімана, будь-яке квазіконформне самовідображення нижньої півсфери природно відповідає конформному відображенню верхньої півсфери в себе. Насправді визначається як обмеження на верхню півсферу розв’язку рівняння Бельтрамі
де μ — обмежена вимірна функція, визначена як
на нижній півсфері та продовжена нулем на верхню півсферу.
Ототожнюючи верхню півсферу з , Ліпман Берс використав похідну Шварца, щоб визначити відображення
яке вкладає універсальний простір Тейхмюллера у відкриту підмножину простору обмежених голоморфних функцій на з рівномірною нормою. Фредерік Герінг показав у 1977 році, що є внутрішністю замкненої підмножини похідних Шварца унівалентних функцій.
Для компактної ріманової поверхні роду більшого за 1 її універсальним накриттям є одиничний диск , на якому її фундаментальна група діє перетвореннями Мебіуса. Простір Тейхмюллера поверхні можна ототожнити з підпростором універсального простору Тейхмюллера, інваріантним відносно . Голоморфні функції мають властивість, що
є інваріантним відносно , і тому задають квадратичні диференціали на . У такий спосіб простір Тейхмюллера поверхні реалізується як відкрита підмножина скінченновимірного комплексного векторного простору квадратичних диференціалів на .
Група дифеоморфізмів кола Перехресні гомоморфізми Властивість перетворення
дозволяє інтерпретувати похідну Шварца як неперервний 1-когомологічний кокраїк (1-cocycle) або перехресний гомоморфізм групи дифеоморфізмів кола з коефіцієнтами в модулі щільностей степеня 2 на колі. Нехай — простір тензорних щільностей степеня на . Група орієнтаційно-зберігальних дифеоморфізмів , діє на через проштовхування. Якщо , розглянемо відображення
Мовою когомології груп наведене вище ланцюгове правило означає, що це відображення є 1-кокраїком на з коефіцієнтами в . Справді,
і 1-кокраїк, що породжує цю когомологію, — це Обчислення 1-когомології є окремим випадком більш загального результату
Зауважимо, що якщо — група, а — -модуль, то тотожність, що визначає перехресний гомоморфізм з у , можна виразити через стандартні гомоморфізми груп: вона кодується гомоморфізмом з у напівпрямий добуток так, що композиція з проєкцією на є тотожним відображенням; відповідність задається відображенням
Перехресні гомоморфізми утворюють векторний простір і містять як підпростір когранічні (coboundary) перехресні гомоморфізми
в . Простий аргумент усереднення показує, що якщо — компактна група, а — топологічний векторний простір, на якому K діє неперервно, то вищі когомологічні групи зникають:
Зокрема, для 1-кокраїків χ, що задовольняють
усереднення за , використовуючи лівоінваріантність міри Гаара на , дає
де
Отже, після усереднення можна вважати, що задовольняє умову нормалізації для . Зауважимо, що якщо будь-який елемент у задовольняє , то
Але тоді, оскільки — гомоморфізм,
тож задовольняє умову еквіваріантності
Таким чином, можна вважати, що кокраїк задовольняє ці умови нормалізації для . Похідна Шварца фактично зникає щоразу, коли є перетворенням Мебіуса, яке відповідає . Два інші 1-цикли, обговорені нижче, зникають лише на .
Існує інфінітезимальна версія цього результату, що дає 1-кокраїк для , алгебри Лі гладких векторних полів, і, отже, для алгебри Вітта, підалгебри тригонометричних поліноміальних векторних полів. Дійсно, коли — група Лі і дія на є гладкою, існує версія перехресного гомоморфізму на рівні алгебр Лі, що отримується диференціюванням відповідних гомоморфізмів у тотожності. Це також має сенс для і приводить до 1-кокраїка
який задовольняє тотожність
У випадку алгебри Лі когранічні відображення мають вигляд
В обох випадках 1-когомологія визначається як простір перехресних гомоморфізмів за модулем когранічних. Природна відповідність між груповими гомоморфізмами та гомоморфізмами алгебр Лі приводить до «включення ван Еста»
і таким чином обчислення зводиться до обчислення когомології алгебри Лі. За неперервністю це зводиться до знаходження перехресних гомоморфізмів алгебри Вітта в . Умови нормалізації для групового перехресного гомоморфізму дають такі додаткові умови для :
для з .
Дотримуючись домовленостей , базис алгебри Вітта задається як
так що
Базис для комплексифікації задається як
так що
для . Це змушує
для деяких коефіцієнтів . Умова перехресного гомоморфізму
дає рекурентне співвідношення для :
Умова
означає, що . Із цієї умови та рекурентного співвідношення випливає, що (з точністю до скалярного множника) існує єдиний ненульовий розв’язок тоді й тільки тоді, коли , а інакше розв’язок лише нульовий. Розв’язок для відповідає груповому 1-кокраїку
Розв’язок для відповідає груповому 1-кокраїку
Відповідні 1-кокраїки алгебри Лі для задаються (з точністю до скалярного множника) формулою
Центральні розширення