У математиці функція Гауса або звичайна гіпергеометрична функція — це спеціальна функція, представлена гіпергеометричним рядом, що включає багато інших спеціальних функцій як часткові або випадки, позначається . Це розв'язок лінійного звичайного диференціального рівняння (ЗДР) другого порядку. Будь-яке лінійне ЗДР другого порядку з трьома може бути зведене до такого рівняння.
Щодо упорядкованих списків деяких із багатьох тисяч опублікованих тотожностей, що стосуються гіпергеометричної функції, див. оглядові роботи Ерделі зі співавторами (1953)Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz and Tricomi, Francesco G. (1953). Higher transcendental functions. Vol. I. New York - Toronto - London: McGraw-Hill Book Company, Inc. ISBN 978-0-89874-206-0. MR 0058756 та Ольде Даалхуїса (2010)Olde Daalhuis, Adri B. (2010), "Hypergeometric function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248. На сьогодні невідома система організації всіх цих тотожностей; дійсно, не існує відомого алгоритму, який може породжувати всі тотожності; відома лише низка різних алгоритмів, які породжують різні серії тотожностей. Теорія алгоритмічного виявлення тотожностей залишається актуальною темою дослідження.
Історія Термін "гіпергеометричний ряд" вперше був використаний Джоном Валлісом у його книзі "Arithmetica Infinitorum" в 1655 році.
Гіпергеометричні ряди вивчав Леонард Ейлер, але перше повне та систематичне трактування було проведено Карлом Фрідріхом Гаусом (1813) Gauss, Carl Friederich (1813). "Disquisitiones generales circa seriem infinitam ". Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores (in Latin). Göttingen. 2..
Дослідження у дев'ятнатнадцятому столітті включали роботу Ернеста Куммера (1836)Kummer, Ernst Eduard (1836). "Über die hypergeometrische Reihe ". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in German). 15: 39-83, 127-172. ISSN 0075-4102. та фундаментальну характеристику Бернгарда Рімана (1857)Riemann, Bernhard (1857). "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe darstellbaren Functionen". Abhandlungen der Wissenschaften zu Göttingen (in German). Göttingen: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. 7: 3-22. гіпергеометричної функції за допомогою диференціального рівняння, яке вона задовольняє.
Ріман показав, що диференціальне рівняння другого порядку для функції , що розглядається на комплексній площині, може бути охарактеризовано (на сфері Рімана) за допомогою трьох .
Випадки, коли розв'язки є алгебраїчними функціями, було знайдено Германом Шварцом ().
Гіпергеометричний ряд Гіпергеометрична функція — спеціальна функція, що є розв'язком гіпергеометричного рівняння
Гіпергеометрична функція може бути визначена з допомогою ряду Гауса:
де , , — параметри, що приймають будь-які дійсні або комплексні значення, а — комплексна змінна.
Функція називається гіпергеометричною функцією першого роду.
Гіпергеометрична функція визначається при за допомогою степеневого ряду
Цей ряд буде невизначеним (або нескінченним), якщо дорівнює цілому недодатному числу. Тут — (зростаючий) , який визначається наступним чином:
Ряд збігається абсолютно і рівномірно при ; збіжність розповсюджується і на одиничне коло, якщо ; при збігається в усіх точках одиничного кола, окрім . Проте існує аналітичне продовження гіпергеометричної функції у зовнішність одиничного кола з розрізом . Функція — однозначна аналітична в комплексній площині з розрізом . Якщо або — нуль або ціле від'ємне число, то ряд обривається на скінченному числі членів і гіпергеометрична функція зводиться до полінома:
Якщо , де — ціле невід'ємне число, то . Якщо функцію поділити на значення гамма-функції , то отримаємо границю:
— найпоширеніший тип і його часто позначають просто як .
Формули диференціювання
Використовуючи тотожність , можна показати, що
і у загальному випадку
У частинному випадку, при , отримаємо
Частинні випадки
Багато загальновідомих математичних функцій можна виразити через гіпергеометричну функцію або через її граничні випадки. Деякі типові приклади:
.
(або функція Куммера) може бути представлена як границя гіпергеометричної функції
Тому всі функції, які є частинними випадками функції Куммера, такі як функції Бесселя, також можуть бути представлені як границі гіпергеометричних функцій. Це стосується більшості загальновживаних функцій математичної фізики.
Функції Лежандра — розв'язок диференціального рівняння другого порядку з регулярними особливими точками, тому їх можна виразити через гіпергеометричну функцію різними способами, наприклад,
Деякі ортогональні многочлени, зокрема, поліноми Якобі і їх частинні випадки: поліноми Лежандра, поліноми Чебишова, поліноми Ґеґенбауера, можна записати у термінах гіпергеометричних функцій за допомогою формули
А також інші поліноми, які є частинними випадками: поліноми Кравчука, , .
Еліптичні модулярні функції іноді можна представити як обернені функції відношень гіпергеометричних функцій, аргументи яких , , дорівнюють 1, 1/2, 1/3, … або 0. Наприклад, якщо
то
— еліптична модулярна функція змінної .
Неповні бета-функції пов'язані з гіпергеометричними функціями наступним чином:
Повні еліптичні інтеграли та можна представити як
Гіпергеометричне диференціальне рівняння
Гіпергеометрична функція є розв'язком гіпергеометричного диференціального рівняння Ейлера
яке має три : 0, 1 і . Узагальнення цього рівняння на три довільні регулярні особливі точки задається . Будь-яке диференціальне рівняння другого порядку з трьома регулярними особливими точками може бути зведене до гіпергеометричного диференціального рівняння шляхом заміни змінних.
Розв'язки в особливих точках
Розв'язки гіпергеометричного диференціального рівняння будуються за допомогою гіпергеометричного ряду . Рівняння має два лінійно незалежних розв'язки. У кожній з трьох особливих точок 0, 1, , зазвичай є два спеціальні розв'язки вигляду , помножені на голоморфну функцію змінної , де — один з двох коренів визначального рівняння (однорідного лінійного диференціального рівняння в особливій точці), а — локальна змінна, що зануляється в регулярній особливій точці. Це дає спеціальних розв'язків, як показано нижче.
Якщо не є цілим недодатним числом, то в околі точки є два незалежні розв'язки:
і, за умови, що не є цілим числом,
Якщо не є додатним цілим числом , тоді перший з цих розв'язків не існує, і його слід замінити на . Другий розв'язок не існує, якщо є цілим числом, більшим за 1, і дорівнює першому розв'язку або його заміні, якщо є будь-яким іншим цілим числом. Отже, якщо є цілим числом, то для другого розв'язку необхідно використовувати більш складніше співвідношення, що дорівнюють першому розв'язку помноженому на плюс інший ряд за степенями та включає дигамма-функцію. Детальніше див. Ольде Даалхуїс (2010).
Якщо не є цілим числом, то в околі є два незалежних розв'язки:
і
Якщо не є цілим числом, то в околі є два незалежних розв'язки:
і
Знову ж таки, якщо умови нецілості не виконуються, то існують інші розв'язки, які є більш складними.
Будь-які 3 із вищезазначених 6 розв'язків задовольняють лінійне співвідношення, оскільки простір розв'язків є двовимірним, що дає лінійних співвідношень між ними, які називаються формулами зв'язку.
24 розв'язки Куммера
другого порядку з особливими точками має групу симетрій, що діє (проєктивно) на його розв'язках, і яка ізоморфна групі Коксетера порядку . Отже, для гіпергеометричного рівняння така група має порядок 24 та ізоморфна симетричній групі на 4 точках, і була вперше описана Куммером. Ізоморфізм з симетричною групою є несподіваним і не має аналога для більш ніж 3 особливих точок, і іноді краще думати про цю групу як про продовження симетричної групи на 3 точки (яка діє як перестановки 3-х особливих точок) за допомогою 4-групи Клейна (елементи якої змінюють знаки різниць експонент у парній кількості особливих точок). Група Куммера з 24 перетворень породжується трьома перетвореннями, що перетворють розв'язок до одного з виглядів:
які відповідають транспозиціям (12), (23) та (34) при ізоморфізмі з симетричною групою на 4 точках 1, 2, 3, 4. (Перший та третій розв'язок з них насправді дорівнюють , тоді як другий є незалежним розв'язком диференціального рівняння.)
Застосування перетворень Куммера до гіпергеометричної функції дає розв'язків, що відповідають кожному з 2 можливих експонент у кожній з 3 особливих точок, кожний з яких з'являється 4 рази з огляду на тотожності (перетворення Ейлера); (перетворення Пфаффа);
Q-форма
Гіпергеометричне диференціальне рівняння можна звести до -форми
за допомогою заміни та виключенням першої похідної. Отримуємо
а визначається як розв'язок диференціального рівняння
тобто
-форма є важливою через її зв'язок з похідною Шварца (Hille 1976Hille, Einar (1976). Ordinary differential equations in the complex domain.Dover. ISBN 0-486-69620-0., с. 307-401).
Трикутні відображення Шварца
Трикутні відображення Шварца або -функції Шварца є відношеннями пар розв'язків:
де — одна з точок 0, 1, . Іноді також використовується позначення
Зауважимо, що коефіцієнти зв'язку стають перетвореннями Мебіуса при трикутних відображеннях.
Кожне трикутне відображення є при відповідно до
і
У частинному випадку з дійсними , та , причому , -відображення є конформними відображеннями верхньої півплощини у трикутники на сфері Рімана, що обмежені дугами кіл. Це відображення є у трикутники з круговими дугами. Особливі точки 0, 1 і відображаються у вершини трикутника. Кути трикутника дорівнюють , та відповідно.
Крім того, у випадку, якщо , та для цілих чисел , , , то трикутники замощують сферу, комплексну площину або верхню напівплощину відповідно, якщо , або ; а -відображення — обернені функції для .
Група монодромії
Монодромія гіпергеометричного рівняння описує як змінюються фундаментальні розв'язки, якщо їх аналітично продовжувати у –площині навколо траєкторій, що повертаються до тієї самої точки. Тобто, коли траєкторія обертається навколо сингулярної точки гіпергеометричної функції , то значення розв'язків у кінцевій точці буде відрізнятися від значення у початковій точці.
Два фундаментальних розв'язки гіпергеометричного рівняння пов'язані між собою лінійним перетворенням; таким чином, монодромія є відображенням (груповий гомоморфізм):
де — фундаментальна група. Іншими словами, монодромія — це двовимірне лінійне представлення фундаментальної групи. Група монодромії рівняння є образом цього відображення, тобто групою, породженою матрицями монодромії. Представлення монодромії фундаментальної групи можна обчислити явно у термінах експонент в особливих точкахInce 1944, pp. 393–393. Якщо , та є експонентами в 0, 1 та , то, вибираючи в околі 0, петлі навколо 0 та 1 мають матриці монодромії наступного вигляду: та де
Якщо , , — не цілі раціональні числа зі знаменниками , , , то група монодромії є скінченною тоді й лише тоді, коли , див. або .
Інтегральні формули Тип Ейлера Якщо — це бета-функція, то має місце формула Ейлера:
за умови, що не є дійсним числом, таке що воно більше або дорівнює 1 (при чи за умови визначеності обох сторін. Розкладаючи у біноміальний ряд і застосовуючи контурні інтеграли для функції бети, можна одержати інші інтегральні представлення. Якщо є дійсним числом, більшим або рівним , то слід використовувати аналітичне продовження, оскільки дорівнює нулю в певній точці визначення інтеграла, тому значення інтегралу може бути погано визначеним. Цей результат було отримано Ейлером в 1748 р. з використанням гіпергеометричних перетворень Ейлера та Пфаффа.
Інші представлення, що відповідають іншим , даються для того ж самого підінтегрального виразу, але як шлях інтегрування обирається замкнений , що обходить особливості в різних порядках. Такі шляхи відповідають дії монодромії.
Інтеграл Барнса
Барнс використовував теорію лишків для оцінки :
як
де контур обрано так, щоб відокремити полюси від полюсів .