Неелементарний інтеграл або неелементарна первісна заданої елементарної функції — це первісна (або невизначений інтеграл), яка сама по собі не є елементарною функцієюWeisstein, Eric W. Elementary Function. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. From MathWorld Accessed 24 Apr 2017.. 1835 року вперше довела існування неелементарних первісних. Ця теорема також забезпечує основу для для визначення (зі значними труднощами), які елементарні функції мають елементарні первісні.

Приклади Приклади функцій з неелементарними первісними:

Impossibility theorems for elementary integration; Brian Conrad. Clay Mathematics Institute: 2005 Academy Colloquium Series. Accessed 14 Jul 2014. (еліптичний інтеграл) (інтегральний логарифм) (функція помилок, інтеграл Гаусса) and (інтеграли Френеля) (інтегральний синус) (інтегральна експонента) (пов'язаний з інтегральною експонентою) (пов'язаний з інтегральним логарифмом) (неповна гамма-функція); для первісну можна записати через інтегральну експоненту, для ​ — через функцію похибок, а для будь-якого додатного цілого первісна виражається через елементарні функції.

Деяким поширеним неелементарним первісним функціям дали назви, що визначають так звані спеціальні функції, а формули за участю цих нових функцій можуть виражати ширші класи неелементарних первісних. У наведених вище прикладах у дужках наведено назви відповідних спеціальних функцій.

Властивості Неелементарні первісні часто вдається обчислювати за допомогою ряду Тейлора. Навіть якщо функція не має елементарної первісної, її ряд Тейлора можна інтегрувати почленно як поліном, що дає первісну функцію у формі ряду Тейлора з тим самим радіусом збіжності. Однак, навіть якщо інтегральна функція має збіжний ряд Тейлора, її послідовність коефіцієнтів часто не має елементарної формули й повинна обчислюватися почленно, з тим самим обмеженням для інтегрального ряду Тейлора.

Навіть якщо не завжди можливо обчислити первісну в елементарних функціях, можна наближено знайти відповідний визначений інтеграл за допомогою чисельного інтегрування. Бувають також випадки, коли елементарна первісна відсутня, але конкретні визначені інтеграли (часто невласні інтеграли на необмежених інтервалах) можна обчислити в елементарних функціях: найвідоміший з них - інтеграл Гаусса .

Замиканням множини елементарних функцій відносно інтегрування є множина .

Примітки

Посилання

Williams, Dana P., NONELEMENTARY ANTIDERIVATIVES, 1 Dec 1993. Accessed January 24, 2014.