Інтегральний логарифм — спеціальна функція, що визначається для дійсних рівністю:
при x > 1 підінтегральна функція має в точці t=1 нескінченний розрив і інтегральний логарифм розуміється в сенсі головного значення:
Також для усунення сингулярності в точці 1 іноді визначається зсунутий інтегральний логарифм:
Між двома функціями справедлива рівність:
Властивості
При малих x:
Інтегральний логарифм пов'язаний з інтегральною показниковою функцією Ei(x) співвідношеннями:
Інтегральний логарифм подається у вигляді ряду
де — стала Ейлера; Інший ряд, що збігається швидше був виведений Срінівасою Рамануджаном:
Інтегральний логарифм має єдиний нуль в точці — стала Рамануджана — Солднера
Комплексна змінна
Як функція комплексної змінної z інтегральний логарифм можна визначити:
Інтегральний логарифм тоді буде однозначною аналітичною функцією в комплексній площині z з розрізами уздовж дійсної осі від до 0 і від 1 до (уявні частини логарифмів беруться при цьому в межах від до ).
Застосування в теорії чисел Інтегральний логарифм відіграє важливу роль у теорії чисел. Зокрема, згідно з теоремою про розподіл простих чисел: де — кількість простих чисел менших або рівних x.
Див. також Інтегральна показникова функція Інтегральний косинус Теорема про розподіл простих чисел
Джерела
Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.