Не плутати з числом Ейлера, , основою натурального логарифма.
Стала Ейлера (або Ейлера — Маскероні) — математична константа, яку позначають малою грецькою літерою гамма .
Вона визначається як границя різниці між гармонійним рядом і натуральним логарифмом, що позначається як :
Тут — ціла частина числа.
Числове значення сталої Ейлера з точністю до 50 знаків після коми:Sloane, N. J. A.(Decimal expansion of Euler's constant gamma).
Історія Константа вперше з'явилася в 1734 році в роботі швейцарського математика Леонарда Ейлера «De Progressionibus harmonicis observationes» (Eneström Index 43). Для константи Ейлер використовував позначення та . У 1790 році італійський математик використав для константи позначення та . Позначення ніде не зустрічається в роботах ні Ейлера, ні Маскероні, і було обранеLagarias, Jeffrey C. (October 2013). «Euler's constant: Euler's work and modern development». пізніше, можливо, через зв'язок константи з гамма-функцією. Наприклад, німецький математик використовував позначення у 1835 році, а Август де Морган використовував його в підручнику, опублікованому частинами з 1836 по 1842 роки.De Morgan, Augustus (1836—1842). The differential and integral calculus.
Застосування Стала Ейлера, серед іншого, зустрічається ('*' означає, що відповідний елемент містить рівняння у явному вигляді), зокрема, в таких поняттях: співвідношення з експоненційним інтегралом*; перетворення Лапласа* для натурального логарифма; перший член розкладу в Ряд Лорана для Дзета-функції Рімана*, де вона є першою з констант Стілтьєса*; обчислення дигамма-функції; формула добутку для гамма-функції; асимптотичний розклад гамма-функції для малих аргументів; нерівність для функції Ейлера; швидкість зростання функції дільників; у регуляризації розмірності Діаграм Фейнмана в квантовій теорії поля; обчислення сталої Мейселя — Мертенса; третя теорема Мертенса*; розв'язок рівняння Бесселя другого роду; у регуляризації/перенормуванні гармонічного ряду як скінченне значення; математичне сподівання ; інформаційна ентропія розподілів Вейбулла і Леві і, неявно, розподілу хі-квадрат для одного або двох степенів вільності; розв'язок задачі про збирача купонів*; у деяких формулюваннях закону Ципфа; означення інтегрального косинуса*; нижня межа щілини простих чисел; верхня межа ентропії Шеннона в квантовій теорії інформації;Caves, Carlton M.; Fuchs, Christopher A. (1996). «Quantum information: How much information in a state vector?». модель Фішера—Орра для генетики адаптації в еволюційній біології;Connallon, T., Hodgins, K.A., 2021. Allen Orr and the genetics of adaptation. Evolution 75, 2624—2640. https://doi.org/10.1111/evo.14372 асимптотичні розширення модифікованих функцій Струве.
Властивості Не доведено чи є число алгебраїчним або трансцендентним. Насправді навіть невідомо, чи є ірраціональним. Використовуючи ланцюгові дроби, Папаніколау показав у 1997 році, що якщо є раціональним, його знаменник повинен бути більшим за 10244663.Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). Buhler, Joe P. (ed.). «Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers». Algorithmic Number Theory.{Papanikolaou, T. (1997). Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten Bibliothek fur algorithmische Zahlentheorie Універсальність числа підтверджується великою кількістю рівнянь нижче, що робить питання ірраціональності є головним відкритим питанням у математиці.See also Sondow, Jonathan (2003). «Criteria for irrationality of Euler's constant». Proceedings of the American Mathematical Society.
Проте певний прогрес все ж досягнуто. Курт Малер показав у 1968 р., що число є трансцендентним (тут і є функціями БесселяMahler, Kurt; Mordell, Louis Joel (4 June 1968). «Applications of a theorem by A.B.Shidlovski». У 2009 році Олександр Аптекарев довів, що принаймні одна з констант Ейлера або є ірраціональноюAptekarev, A. I. (28 February 2009). «On linear forms containing the Euler constan». Тангі Рівоаль довів у 2012 році, що принаймні одна з них є трансцендентною.Rivoal, Tanguy (2012). «On the arithmetic nature of the values of the gamma function, Euler's constant, and Gompertz's constant». У 2010 р. та Н.Сарадха показали, що принаймі одне з чисел вигляду
де і , є алгебраїчним; це сімейство включає частинний випадок .Ram Murty and Saradha 2010. У 2013 році М. Рам Мурті та А. Зайцева знайшли іншу сім'ю, що містить , яке базується на сумах обернених цілих чисел, які не діляться на фіксований список простих чисел з однією і тією ж властивістю.Murty, M. Ram; Zaytseva, Anastasia (2013). «Transcendence of Generalized Euler Constants». The American Mathematical Monthly.
Зв'язок з гамма-функцією пов'язана з дигамма-функцією , а отже із похідною від гамма-функції, якщо обидві функції обчислювати в 1. Таким чином,
Це дорівнює границям:
Подальші обчислення границь:Kramer, Stefan (2005). Die Eulersche Konstante und verwandte Zahlen.
Границя пов'язана з бета-функцією (записана за допомогою гамма-функції):
Зв'язок з дзета-функцією також можна виразити як нескінченну суму, члени якої включають дзета-функцію Рімана, яка обчислюється для цілих додатних числах:
Інші ряди, пов'язані з дзета-функцією, включають:
Похибка в останньому рівнянні є швидкоспадною функцією змінної . У результаті формула добре підходить для ефективного обчислення константи з високою точністю.
Іншими цікавими границями, що дорівнюють сталій Ейлера, є антисиметрична границя:{Sondow, Jonathan (1998). «An antisymmetric formula for Euler's constant».
і наступна формула, отримана в 1898 році де ла Валле-Пуссеном:
де функція стелі Ця формула вказує, що коли беремо будь-яке натуральне число і ділимо його на будь—яке натуральне число менше за , то середня частка до якої спадає частка менша наступного цілого числа, прямує до (ніж до ), якщо прямує до нескінченності.
З цим тісно пов'язане представлення у вигляді раціонального дзета-ряду. Взявши окремо декілька перших членів ряду наведеного вище, можна отримати оцінку для класичної границі ряду:
де дзета-функція Гурвіца. Сума в цьому рівнянні включає гармонічні числа . Розписавши деякі члени дзета-функції Гурвіца отримуємо:
де . також можна представити наступним чином:
де стала Глейшера — Кінкеліна. також можна представити у вигляді:
який отримується з розкладу дзета-функції у ряд Лорана.
Інтеграли дорівнює таким значенням визначених інтегралів:
де дробове Гармонічне число. Третю формулу в інтегральному списку можна довести наступним чином:
Інтеграл у третьому рядку— значення функції Дебая в , яке в свою чергу дорівнює .
Визначені інтеграли, у яких зустрічається :
Можна виразити , використовуючи частинний випадок формули ХаджикостасаSondow, Jonathan (2005), «Double integrals for Euler's constant and and an analog of Hadjicostas's formula», American Mathematical Monthly, 112 (1): 61—65, arXiv: math.CA/0211148, doi:10.2307/30037385, JSTOR 30037385 як подвійний інтеграл з еквівалентним рядом:
Цікавим є порівняння Сондоу:
Це показує, що можна розглядати як «знакозмінну сталу Ейлера». Ці дві сталі також пов'язані за допомогою пари рядівSondow, Jonathan (1 August 2005a). New Vacca-type rational series for Euler's constant and its alternating analog . arXiv: math.NT/0508042.
де і — відповідно кількість одиниць і нулів у розкладі за основою 2. Також можна записати за допомогою інтегралаSondow, Jonathan; Zudilin, Wadim (2006). «Euler's constant, —logarithms, and formulas of Ramanujan and Gosper». Каталана
Розклад в ряд У загальному випадку
для будь-якого . Однак швидкість збіжності цього розкладу значною мірою залежить від . Зокрема, демонструє набагато швидшу збіжність, ніж стандартний розклад .DeTemple, Duane W. (May 1993). «A Quicker Convergence to Euler's Constant».Havil 2003, pp. 75—78. Це тому, що
коли
Тим не менш, існують інші розклади рядів, які збігаються швидше, ніж цей; деякі з них розглянуті нижче.
Ейлер показав, що наступний нескінченний ряд збігається до :
Цей ряд для еквівалентний ряду Нільсена, знайденому в 1897 році:Blagouchine 2016.Krämer, Stefan (2005). Die Eulersche Konstante
У 1910 році знайшов тісно пов'язаний рядVacca, G. (1910). «A new analytical expression for the number and some historical considerations». Bulletin of the American Mathematical Society. 16: 368—369. doi:10.1090/S0002-9904-1910-01919-4Glaisher, James Whitbread Lee (1910). «On Dr. Vacca's series for ». Q. J. Pure Appl. Math. 41: 365—368.Hardy, G.H. (1912). «Note on Dr. Vacca's series for ». Q. J. Pure Appl. Math. 43: 215—216.Vacca, G. (1926). "Nuova serie per la costante di Eulero, Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche. Matematiche e Naturali (in Italian). 6 (3): 19—20.Kluyver, J.C. (1927). «On certain series of Mr. Hardy». Q. J. Pure Appl. Math. 50: 185—192.Blagouchine, Iaroslav V. (2016), «Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in and into the formal enveloping series with rational coefficients only», J. Number Theory, 158: 365—396, arXiv:1501.00740, doi:10.1016/j.jnt.2015.06.012.
де — це логарифм за основою 2, — функція підлоги.
У 1926 році він знайшов інший ряд:
Із розкладу в ряд —Куммера для логарифма гамма-функціїBlagouchine, Iaroslav V. (2014). «Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results»отримуємо
Важливий розклад у ряд сталої Ейлера отримали і Маскероні:
де — коефіцієнти Грегорі. Krämer, Stefan (2005). Die Eulersche Konstante und verwandte Zahlen. Blagouchine, Iaroslav V. (2016), «Expansions of generalized Euler's constants into the series of polynomials in and into the formal enveloping series with rational coefficients only»Blagouchine, Iaroslav V. (2018), «Three notes on Ser's and Hasse's representations for the zeta-functions» Цей ряд є частинним випадком (при ) наступного розкладів:
які є збіжними приk=1,2,\dots.
Аналогічний ряд записаний з використанням чисел Коші другого роду має вигляд:Alabdulmohsin, Ibrahim M. (2018). Summability Calculus. A Comprehensive Theory of Fractional Finite Sums.
Благоучин (2018) знайшов цікаве узагальнення ряду Фонтана—Машероні
де — , які визначаються твірною функцією
Для будь-якого раціонального цей ряд містить лише раціональні доданки. Наприклад, при маємоSloane, N. J. A. (ed.). «Sequence A302120 (Absolute value of the numerators of a series converging to Euler's constant)» Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequence A302121 (Denominators of a series converging to Euler's constant)»
Інші ряди з такими ж многочленами включають такі приклади:
та
де — гамма-функція. Ряд, пов'язаний з алгоритмом Акіяма—Танігави, має вигляд
де — коефіцієнти Грегорі другого порядку
Ряд простих чисел:
Асимптотичні розклади можна визначити за допомогою наступних асимптотичних формул (де —-е гармонічне число): (Ейлер) (Негой) (Ернесто) Третя формула також називається розкладом Рамануджана.
Алабдулмохсін отримав у замкненій формі співвідношення для сум похибок цих наближень. Він показав, що (теорема A.1):
Експонента Стала є важливою в теорії чисел. Деякі автори позначають цю величину просто як . дорівнює наступній границі, де — -е просте число:
Це підтверджує третю теорему Мертенса.Weisstein, Eric W. «Mertens Constant». Числове значення :Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A073004 (Decimal expansion of exp(gamma)) . Інші нескінченні добутки, що пов'язані з , включають:
Ці доданки є результатом .
Додатково
де -й множник — це -й корінь з
Цей нескінченний добуток, вперше відкритий Сером у 1926 році, був перевідкритий Сонду за допомогою гіпергеометричних функцій.Sondow, Jonathan (2003). «An infinite product for via hypergeometric formulas for Euler's constant, » Також справедлива наступна формула:hoi, Junesang; Srivastava, H.M. (1 September 2010). «Integral Representations for the Euler—Mascheroni Constant ». Integral Transforms and Special Functions.
Ланцюговий дріб Розклад ланцюгового дробу для сталої починається з , і немає видимої закономірності.