Математична константа — величина, значення якої не змінюється; в цьому вона протилежна змінній. Зазвичай — це дійсне або комплексне число, яка виводиться в самій математиці, тому на відміну від фізичних констант, математичні константи визначені незалежно від якихось фізичних вимірювань.
Деякі вибрані константи Використані скорочення: Р — раціональне число, І — ірраціональне число, А — алгебраїчне число, Т — трансцендентне число, ? — невідомо; мат — звичайна математика, ТЧ — теорія чисел, ТХ — теорія хаосу, комб — комбінаторика.
Символ Наближене значення Назва Галузь Значення Вперше описана Число відомих знаків 0 нуль мат Р 7 ст. до Р.Х.- 5 ст. до Р.Х. 1 одиниця, Unity мат Р
уявна одиниця мат, мат. аналіз А 16 століття
пі, константа Архімеда мат Т 2000 рік до Р.Х.
константа Непера, число Ейлера, основа натурального логарифма мат Т
константа Піфагора, квадратний корінь з 2 мат І
константа Теодоруса, квадратний корінь з 3 мат І
стала Ейлера — Маскероні мат, ТЧ ?
золотий переріз мат І
константа Ембрі — Трефетена ТЧ
константи Фейгенбаума ТХ
1975
константи Фейгенбаума ТХ
константа простих близнюків ТЧ
константа Майсселя — Мертенса ТЧ 1866; 1874 8010
константа Бруна для простих близнюків ТЧ 1919 10
Позначення Значення π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249
Загальні математичні константи
Константа Архімеда
Стала (пі) має натуральне визначення в Евклідовій геометрії (співвідношення між окружністю і діаметром кола), але її можна зустріти в багатьох математичних поняттях: наприклад, Гаусівський інтеграл у комплексному аналізі, у Корінь з одиниці в теорії чисел, і Розподіл Коші імовірностей. Однак, її поширення не обмежується лише класичною математикою. Вона використовується в багатьох фізичних формулах, і деякі фізичні константи визначені через . Однак, об'єктом дискусій щодо того, наскільки її використання є фундаментальним в таких випадках. Наприклад, нерелятивістська хвильова функція основного стану атома водню є такою:
де це радіус Бора. Формула містить число , але залишається не ясним, наскільки це коректно у фізичному плані, або це лише відображає в виразі для розрахунку площі поверхні сфери із радіусом . Крім того, ця формула дає лише приблизне описання фізичної реальності, оскільки вона не враховує спін, релятивізм, і квантову природу електромагнітного поля. Аналогічно, поява числа у формулі, що описує закон Кулона в одиницях вимірювання СІ, залежить від вибору системи одиниць, і історично це пов'язано з тим як була введена в практику так звана діелектрична проникність вільного простору, яку запропонував в 1901. Константа , як в наведеному рівнянні, часто мають чисто з математичну природу і сенс, а не фізичну.
Числове значення приблизно дорівнює 3.1415926535 (). Запам'ятовування як змога більшої кількості цифр числа є свого типу змаганням за встановлення світового рекорду.
Число Ейлера
Число Ейлера , що також відоме як стала експоненційного зростання, застосовується у багатьох галузях математики і одним із можливих визначень її значення є наступний вираз:
Наприклад, математик Якоб Бернуллі встановив, що число виникає в розрахунках складних відсотків: рахунок, який починається із суми в $1, і дає відсоток із річною ставкою при постійному зростанні, акумулюватиме до доларів до кінця одного року. Константа також має своє застосування у теорії ймовірностей, де вона очевидно не пов'язана із експоненціальним зростанням. Уявімо ігровий автомат із ймовірністю один із отримати виграш. Нехай з ним зіграли разів. Тоді, для великих значень (настільки великих як один мільйон) імовірність того, що нічого не буде виграно дорівнюватиме приблизно і прямує до цього значення з тим як прямує до нескінченності.
Іншим застосуванням числа , яку вирішив Якоб Бернулі одночасно з французьким математиком П'єром де Монмором, є задача перестановок без нерухомих точок, що також називається безладом. Нехай, наприклад, це кількість гостей, яких запросили на вечірку, і на вході кожен гість віддає свого капелюха дворецькому, який складає їх у підписані комірки. Дворецький не знає імен гостей, і тому розкладає їх капелюхи навмання. Задачею де Монмора є знайти ймовірність того, що жоден з капелюхів гостей не буде покладений в правильну комірку. Відповіддю до цієї задачі буде
із тим як прямує до нескінченності, наближатиметься до .
Числове значення сталої приблизно становить 2.7182818284 ().
Константа Піфагора
Квадратний корінь з двох, відомий як константа Піфагора і записується як , є додатнім алгебраїчним числом, при множенні якого на самого себе результатом буде число 2. Більш точно його називати головний корінь числа 2, аби відрізнити його від від'ємного числа, яке має таку ж властивість.
В геометричному сенсі квадратний корінь числа 2 це довжина діагоналі, що розділяє квадрат, сторони якого дорівнюють одиниці. Це випливає із теореми Піфагора. Ймовірно, це перше відоме ірраціональне число. Його числове значення із точністю до 65 десяткових знаків є наступним: .
Часто для спрощення розрахунків використовується наближене значення у вигляді дробу 99/70 (≈ 1.41429). Дане число відрізняється від правильного менше ніж на 1/10000 (приблизно 7,2 × 10 −5).
Уявна одиниця
Уявна одиниця, позначається як , є математичним поняттям, що розширює систему дійсних чисел до системи комплексних чисел , що в свою чергу визначає принаймні один корінь будь-якого поліному (див Основна теорема алгебри). Основною властивістю уявної одиниці є те, що . Термін «уявне» використовується тому, що не існує такого дійсного числа, що б мало від'ємний квадрат.
Насправді існує два комплексні квадратні корені −1, а саме і , так само як існує два комплексні квадратні корені будь-якого іншого дійсного числа, крім числа нуль.
Константи з вищої математики
Наведені в цьому розділі сталі зустрічаються у задачах вищої математики.
Константи Фейгенбаума α і δ
Ітерації неперервних відображень є найпростішим прикладом моделювання динамічних систем. Із такого ітеративного процесу виникають дві константи Фейгенбаума, названі на честь математичного фізика Мітчелла Фейгенбаума. Ці констати є математичними інваріантами логістичних відображень із квадратичними точками максимумів і їх .
Логістичне відображення це поліноміальне поліноміальне відображення, яку часто описують за допомогою архітипного прикладу того як вз дуже простих рівнянь не лінійної динаміки може виникнути хаотична поведінка. Це відображення було опубліковано у статті 1976 австралійського біолога Роберта Мейя, в рамках дослідження демографічної моделі дискретного часу аналогічної до логістичного рівняння, яке вперше створив П'єр Франсуа Ферхюльст. Різницеве рівняння призначене для описання двох ефектів відтворення популяції та голоду.
Числове значення α приблизно становить 2.5029. Числове значення δ приблизно є 4.6692.
Стала Апері ζ(3)
Попри те, що вона є частковим значенням Дзета-функції Рімана, стала Апері природним чином зустрічається в багатьох фізичних задачах, зокрема в термах другого і третього порядку гіромагнітного співвідношення для електронів, розрахованого за допомогою квантової електродинаміки. Числовим значенням сталої ζ(3) приблизно є . Визначається вона наступним виразом:
Золотий переріз φ
Приклад формули для n-го числа Фібоначчі із застосуванням золотого перерізу φ.
Число φ, що називається золотим перерізом, часто зустрічається у геометрії, зокрема при розгляді фігур із п'ятикутною симетрією. Дійсно, довжина діагоналі правильного п'ятикутника дорівнює числу φ помноженому на сторону. Вершини правильного ікосаедра утворюють три взаємно ортогональні золоті прямокутники. Воно також з'являється у послідовності Фібоначчі, і пов'язане зі зростанням за допомогою рекурсії. Кеплер в свою чергу довів, що воно є границею співвідношення послідовних чисел Фібоначі. Золотий переріз має найменшу збіжність із усіх ірраціональних чисел. Саме з цієї причини, золотий переріз є одним із найгірших випадків теореми апроксимації Лагранжа і є екстремальним випадком теореми Гурвіца для Діофантової апроксимації. Це може бути причиною, чому при зростанні рослин часто виникають кути близькі до золотого перерізу.Fibonacci Numbers and Nature — Part 2 : Why is the Golden section the «best» arrangement? , from Dr. Ron Knott's Fibonacci Numbers and the Golden Section , retrieved 2012-11-29. Золотий переріз приблизно дорівнює 1.6180339887498948482, або більш точно визначається як 2sin(54°) =
Стала Ейлера — Маскероні γ
Стала Ейлера — Маскероні є важливою сталою із теорії чисел. Бельгійський математик Шарль Жан де ла Валле-Пуссен в 1898 довів, що якщо взяти будь-яке додатне число n і поділити його на кожне додатне ціле число m, що є меншим за n, середнє значення дробу, при якому відношення n/m є найближчим до наступного цілого прямує до (а не до 0.5) при n що прямує до нескінченності. Стала Ейлера — Маскероні також зустрічається у третій теоремі Мартенеса і має зв'язок із гамма функцією, Дзета-функцією Рімана і багатьма різними інтегралами і рядами. Визначення сталої Ейлера — Маскероні виявляє тісний зв'язок між дискретністю і неперервністю (див зображення ліворуч).
Числове значення сталої приблизно становить 0.57721.
Математичні цікавинки та невизначені константи
Прості представлення наборів чисел
Число Ліувілля є простим прикладом трансцендентного числа.
Деякі сталі, такі як квадратний корінь з двох, число Ліувілля і :
не є важливими математичними інваріантами, але все ж таки викликають інтерес, оскільки є простими представниками особливих наборів чисел, вони є ірраціональними числами, трансцендентними числами і нормальними числами (із основою 10) відповідно. Відкриття ірраціональних чисел як правило приписують Піфагорійцю Гіппасу Метапонтському, який геометричним способом довів ірраціональність квадратного кореня із 2. Щодо числа Ліувілля, названого в честь французького математика Жозефа Ліувілля, то це було перше число, щодо якого було доведено, що воно є трансцендентним.
Постійна Чайтіна Ω
В Алгоритмічній теорії інформації, що є галуззю комп'ютерних наук, це дійсне число, що представляє собою імовірність, що довільно обрана Машина Тюрінга зупиниться. Хоча постійна Чайтіна не є обчислюваною, було доведено, що воно є трансцендентним і нормальним числом. Постійна Чайтіна не універсальна, і значно залежить від числового кодування, що було використане для машин Тюрінга; однак, її основні цікаві властивості не залежать від кодування.
Невизначені константи У разі якщо константа невизначена, вона може ідентифікувати клас подібних об'єктів, як правило функцій, що є в практичному сенсі рівними з точністю до сталої, і можуть розглядатися 'подібними до сталої'. Такі сталі часто з'являються в задачах пов'язаних з інтегральними і диференціальними рівняннями. Хоча вони мають певне значення, значення таких невизначених констант неважливе.
В інтегралах Невизначені інтеграли називаються так, тому що їх розв'язок є визначеним лише до сталої. Наприклад, якщо річ іде про поле дійсних чисел
де C, є сталою інтегрування — довільним дійсним числом. Іншими словами, яким би не було значення C, диференціювання виразу sin x + C по відношенню до x завжди дасть в результаті cos x.
В диференційних рівняннях Аналогічним чином, константи з'являються при розв'язуванні диференційних рівнянь в яких не задано достатніх початкових значень або граничних умов. Наприклад, звичайне диференціальне рівняння y' = y(x) має розв'язок Cex де C є довільною сталою.
Маючи справу із диференціальними рівняннями із частинними похідними, сталі можуть бути функціями, що є сталими по відношенню до деяких змінних (але не обов'язково до всіх із них). Наприклад, наступне рівняння із частинними похідними
має множину рішень f(x,y) = C(y), де C(y) є довільною функцією із змінною y.
Примітки
Див. також Фізичні константи