Теорія Бранса — Дікі (рідше теорія Йордана — Бранса — Дікі) — скалярно-тензорна теорія гравітації, що збігається в одній із границь із загальною теорією відносності (ЗТВ). В теорії Йордана — Бранса — Дікі, як , гравітаційний вплив на матерію реалізується через метричний тензор простору-часу, а матерія впливає на метрику не лише безпосередньо, а й через генероване додатково скалярне поле . Тому в теорії Йордана — Бранса — Дікі гравітаційна стала не обов'язково постійна, а залежить від скалярного поля , яке може змінюватися у просторі та часі.
Ця теорія набула остаточного формулювання 1961 року в статті і Роберта Дікі, яка істотно спиралася на працю Паскуаля Йордана 1959 року. У ця теорія розглядалася як гідний суперник загальної теорії відносності з-поміж альтернативних теорій гравітації.
Як теорія, що за особливого набору параметрів зводиться до ЗТВ, теорію Йордана — Бранса — Дікі можна спростувати експериментами, які суперечать загальній теорії відносності. Проте експерименти, що підтверджують передбачення теорії відносності, значно обмежують допустиму довільність параметрів теорії Йордана — Бранса — Дікі. Нині цю теорію підтримує меншість фізиків.
Порівняння із загальною теорією відносності Як ЗТВ, так і теорія Бранса — Дікі є прикладами класичних теорій гравітаційного поля, званих метричними теоріями. У цих теоріях простір-час описується метричним тензором , а гравітаційне поле представляється, повністю або частково, тензором кривини Рімана , який визначається метричним тензором.
Всі метричні теорії задовольняють принцип еквівалентності Ейнштейна, який сучасною геометричною мовою каже, що в малій ділянці простору, занадто малій, щоб у ній виявлялися ефекти, пов'язані з кривиною простору, всі закони фізики, що існують у спеціальній теорії відносності, виконуються в локальній лоренцовій системі відліку. Звідси випливає, що у всіх метричних теоріях проявляється ефект гравітаційного червоного зміщення.
Як і в ЗТВ, джерелом гравітаційного поля є тензор енергії-імпульсу. Однак спосіб, яким наявність цього тензора в будь-якій ділянці простору впливає на гравітаційне поле в цій ділянці, виявляється іншим. В теорії Бранса — Дікі на додаток до метрики, яка є тензором другого рангу, існує також скалярне поле , яке фізично проявляється як зміна в просторі ефективної гравітаційної сталої.
Рівняння поля теорії Бранса — Дікі містять параметр , званий сталою зв'язку Бранса — Дікі. Це справжня безрозмірнісна стала, яка вибирається один раз і не змінюється. Зрозуміло, що її слід вибирати так, щоб вона відповідала спостереженням. Крім того, як граничну умову слід використати існуюче фонове значення ефективної гравітаційної сталої. В разі зростання сталої зв'язку теорія Бранса — Дікі дає передбачення, дедалі ближчі до ЗТВ, а в границі переходить у неї.
У ЗТВ безрозмірнісні константи відсутні, отже, її легше спростувати експериментом, ніж теорію Бранса — Дікі. Теорії, що допускають допасування параметрів, у принципі вважають менш задовільними, і при виборі з двох альтернативних теорій слід вибирати ту, що містить меншу кількість параметрів (принцип бритви Оккама). Однак у деяких теоріях такі параметри необхідні.
Теорія Бранса — Дікі менш строга, ніж ЗТВ і ще в одному сенсі — вона допускає більшу кількість розв'язків. Зокрема, точний вакуумний розв'язок рівнянь Айнштайна ЗТВ, доповнений тривіальним скалярним полем , стає точним вакуумним розв'язком теорії Бранса — Дікі, проте деякі розв'язки, які є вакуумними розв'язками ЗТВ, за відповідного вибору скалярного поля стають вакуумними розв'язками теорії Бранса — Дікі. Аналогічно, важливий клас метрик простору-часу, званих , є яку ЗТВ, так і в теорії Бранса — Дікі, проте в теорії Бранса — Дікі існують додаткові хвильові розв'язки, що мають геометрії, неможливі в ЗТВ.
Як і ЗТВ, теорія Бранса — Дікі передбачає гравітаційне лінзування і прецесію перигелію планет, що обертаються навколо Сонця. Однак точні формули, що описують ці ефекти в ній, залежать від значення сталої зв'язку . Це означає, що зі спостережень можна отримати значення нижньої межі на можливі значення . 2003 року в ході експерименту Кассіні — Гюйгенс показано, що має перевищувати 40 000.
Часто можна почути, що теорія Бранса — Дікі, на відміну від ЗТВ, відповідає принципу Маха. Однак деякі автори стверджують, що це не так (особливо з огляду на відсутність консенсусу про те, що, власне, являє собою принцип Маха). Зазвичай стверджують, що ЗТВ можна отримати з теорії Бранса — Дікі при . Однак Фараоні стверджує, що така думка є спрощенням. Стверджують також, що тільки ЗТВ задовольняє сильний принцип еквівалентності.
Рівняння поля Рівняння поля в теорії Бранса — Дікі мають такий вигляд:
,
де
— безразмірнісна стала зв'язку Бранса — Дікі, — метричний тензор, — тензор Айнштайна, — тензор Річчі, слід тензора кривини, — скаляр Річчі, слід тензора Річчі, — тензор енергії-імпульсу, — слід , — скалярне поле, — оператор Лапласа — Бельтрамі або коваріантний хвильовий оператор, .
Перше рівняння стверджує, що слід тензора енергії-імпульсу є джерелом скалярного поля . Оскільки електромагнітне поле робить внесок тільки в безслідові члени тензора енергії-імпульсу, то в ділянках простору, які містять тільки електромагнітне поле (плюс гравітаційне поле), права частина виразу перетворюється на нуль і вільно проходить крізь електровакуумну ділянку та задовольняє хвильове рівняння (для викривленого простору). Це означає, що будь-які зміни у вільно поширюються через електровакуумну ділянку; в цьому сенсі ми можемо стверджувати, що є далекодійним полем
Друге рівняння описує, як тензор енергії-імпульсу та скалярне поле спільно впливають на простір-час. Ліворуч тензор Айнштайна може розглядатися як середня кривина. З математики випливає, що в будь-якій метричній теорії тензор Рімана можна записати як суму тензора Вейля (також званого конформним тензором кривини) та доданка, збираного з тензора Айнштайна.
Для порівняння, рівняння поля в загальній теорії відносності
Воно означає, що в ЗТВ кривина Айнштайна повністю визначається тензором енергії-імпульсу, а інший доданок, кривина Вейля, відповідає частині гравітаційного поля, що поширюється крізь вакуум. А в теорії Бранса — Дікі тензор Айнштайна визначається частково безпосередньо присутніми енергією та імпульсом, а частково далекодійним скалярним полем .
Рівняння поля у вакуумі обох теорій утворюються при зануленні тензора енергії-імпульсу. Вони описують ситуацію, коли всі поля, окрім гравітаційного, відсутні.
Дія Лагранжіан, що містить повний опис теорії Бранса — Дікі, виглядає так:
де
— детермінант метрики, — чотиривимірна форма об'єму, — лагранжіан речовини.
Останній доданок включає внесок звичайної матерії та електромагнітного поля. У вакуумі він перетворюється на нуль, і те, що залишається, називають гравітаційним доданком. Щоб отримати вакуумні рівняння, слід порахувати його варіації відносно метрики ; це дасть нам друге з рівнянь поля. При розрахунку ж варіацій відносно скалярного поля отримаємо перше з рівнянь. Зауважимо, що, на відміну від рівнянь ЗТВ, доданок не обнулюється, оскільки результат є повним диференціалом. Можна показати, що:
Для того, щоб довести це, скористаємося тим, що
При обчисленні в ріманових нормальних координатах 6 індивідуальних доданків виявляються рівними нулю. Ще 6 можна скомбінувати, скориставшись теоремою Стокса, що дає .
Для порівняння, в загальній теорії відносності дія має вигляд:
Рахуючи варіації гравітаційного члена відносно , отримуємо польові рівняння Айнштайна у вакуумі
В обох теоріях повні польові рівняння можна отримати шляхом варіацій повного лагранжіана, так що вони мають дію.
Див. також
Альтернативні теорії гравітації Гравітація Космологія безперервного народження речовини, модифікація теорії Бранса — Дікі, що дає змогу мінімально пов'язаному скалярному полю взаємодіяти з речовиною.
Примітки
Посилання
Див. Box 39.1. Розділ 8: «The Rise and Fall of the Brans-Dicke Theory». Також препринт в arXiv.org.
Carl H. Brans,