Частотно-часове представлення () — зображення сигналу (деякої функції часу), представленого як у часі, так і в частотіE. Sejdić, I. Djurović, J. Jiang, «Time-frequency feature representation using energy concentration: An overview of recent advances,» Digital Signal Processing, vol. 19, no. 1, pp. 153—183, January 2009.. Частотно-часовий аналіз означає аналіз у частотно-часовій області, яку дає частотно-часове представлення. Це досягається за допомогою формулювання, яке часто називають «частотно-часовим розподілом» ().

Частотно-часові представлення часто є комплекснозначними полями над часом і частотою, де модуль поля відображає амплітуду або «густину енергії» (концентрацію середнього квадратичного значення в часі та частоті), а поля задає фазу.

Передумови та мотивація Сигнал як функцію часу можна розглядати як подання з ідеальною часовою роздільною здатністю. Натомість модуль перетворення Фур'є сигналу можна трактувати як подання з ідеальною спектральною роздільною здатністю, але без часової інформації, оскільки модуль перетворення Фур'є відображає розподіл сигналу за частотою, проте не показує, коли саме в часі відбуваються різні події в сигналі.

Частотно-часові представлення поєднують ці два подання, оскільки одночасно надають деяку часову інформацію й деяку спектральну інформацію. Тому частотно-часове представлення зручне для подання та аналізу сигналів з частотами, що змінюються в часі.

Формулювання частотно-часового представлення

Один із варіантів частотно-часового представлення отримують, порівнюючи сигнал із самим собою мультиплікативно, розгортаючи його в різних напрямках відносно кожного моменту часу. Такі подання та формулювання називають квадратичними або білінійними частотно-часовими представленнями (), оскільки подання є квадратичним за сигналом (див. ). Це формулювання вперше описав Юджин Вігнер 1932 року в контексті квантової механіки, а 1948 року узагальнив його як загальне частотно-часове представлення, що привело до появи відомого нині розподілу Вігнера — Вілля. Щоб формула Вігнера була придатною для подання та практичного аналізу, її слід застосовувати до визначеного у праці Вілля B. Boashash, «Note on the use of the Wigner distribution for time frequency signal analysis», IEEE Trans. on Acoust. Speech. and Signal Processing, vol. 36, issue 9, pp 1518—1521, Sept. 1988. . Сьогодні квадратичне частотно-часове представлення включає спектрограму (квадрат модуля віконного перетворення Фур'є), скейлограму (квадрат модуля вейвлет-перетворення) та згладжений псевдорозподіл Вігнера.

Хоча квадратичне частотно-часове представлення одночасно забезпечує ідеальну часову та спектральну роздільну здатність, його квадратична природа породжує перехресні члени, або «інтерференції». Перехресні члени, зумовлені білінійною структурою частотно-часового представлення, можуть бути корисними в деяких застосуваннях, зокрема в задачах класифікації, оскільки додають деталі для алгоритмів розпізнавання. Водночас в інших застосуваннях ці перехресні члени можуть ускладнювати аналіз, тому їх потрібно зменшувати. Один зі способів — порівнювати сигнал з іншою функцією. Такі подання називають лінійними частотно-часовими представленнями, оскільки вони лінійні за сигналом. Прикладом є віконне перетворення Фур'є, яке локалізує сигнал, модулюючи його за допомогою віконної функції перед застосуванням перетворення Фур'є для отримання частотного складу сигналу в межах вікна.

Іншим лінійним частотно-часовим представленням є Чірплет-перетворення, аналізувальні функції якого можуть бути локально модульовані за частотою. Завдяки додатковому параметру швидкості зміни частоти воно пристосоване до представлення нестаціонарних частотно-модульованих компонентів.

Вейвлет-перетворення Вейвлет-перетворення, зокрема неперервні вейвлет-перетворення, розкладають сигнал за вейвлет-функціями, локалізованими як у часі, так і в частоті. Таким чином, вейвлет-перетворення сигналу можна подати одночасно в часовій і частотній областях. Аналіз за допомогою неперервного вейвлет-перетворення дуже корисний для виявлення нестаціонарних сигналів у часових рядах, наприклад пов'язаних із кліматом або зсувами ґрунту.

Поняття часу, частоти та амплітуди, які використовують для побудови частотно-часового представлення за допомогою вейвлет-перетворення, спочатку сформували інтуїтивно. 1992 року опублікували кількісне виведення цих співвідношень на основі наближення стаціонарної фази.

Лінійне канонічне перетворення Лінійне канонічне перетворення — це лінійні перетворення частотно-часового подання, які зберігають симплектичну форму. Вони включають і узагальнюють перетворення Фур'є, дробове перетворення Фур'є та інші перетворення, забезпечуючи узагальнене бачення цих перетворень через їхню дію в частотно-часовій області.

Примітки

Посилання

DiscreteTFDs — software for computing time–frequency distributions TFTB — Time–Frequency ToolBox Time stretched short time Fourier transform for time-frequency analysis of ultra wideband signals