Періодогра́ма — оцінка спектральної густини сигналу в обробці сигналів. Цей термін був введений Артуром Шустером 1898 року. Періодограма є складовою частиною складніших методів. Це найпоширеніший інструмент для дослідження амплітудно-частотних характеристик FIR-фільтрів та віконних функцій. Аналізатори спектру також реалізують як часову послідовність періодограм.
Визначення Нині використовують щонайменше два різні визначення періодограми. Одне з них ґрунтується на усередненні за часом, друге — ні. Усереднення за часом також розглянуто в інших статтях (, ), а ця стаття не стосується усереднення за часом. Тут нас цікавить визначення, за яким спектральна густина потужності неперервної функції є перетворенням Фур'є її автокореляційної функції (див. ):
Обчислення
Для достатньо малих значень параметра довільно точне наближення для можна отримати в області функції:
яка повністю визначається відліками , що покривають ненульову тривалість .
Для достатньо великих значень параметра можна обчислити на довільно близьких частотах сумою вигляду:
де — ціле число. Періодичність дає змогу записати це у дуже простому вигляді через дискретне перетворення Фур'є:
де — періодична сума:
Обчислюючи для всіх цілих від 0 до -1, отримуємо масив:який є періодограмою.
Застосування
Одним із недоліків періодограми є те, що дисперсія на заданій частоті не зменшується зі збільшенням кількості відліків, використаних в обчисленні. Вона не забезпечує потрібного усереднення для аналізу шумоподібних сигналів або навіть синусоїд за низького відношення сигнал/шум. Віконні функції та імпульсні характеристики фільтрів є безшумними, але для багатьох інших сигналів потрібні складніші методи . Два підходи використовують періодограми як частину процесу: Метод усереднених періодограм, більш відомий як , ділить довгу послідовність x[n] на кілька коротших підпослідовностей, які інколи перекриваються. Для кожної підпослідовності він обчислює періодограму у вікні, а потім усереднює їх поелементно, тобто формує масив, у якому кожен елемент є середнім відповідних елементів усіх періодограм. Для стаціонарних процесів це зменшує дисперсію шуму кожного елемента обернено до кількості періодограм. — це усереднення за частотою, а не за часом. Згладжену періодограму іноді називають спектральним графіком.
Методи на основі періодограми вносять невеликі зміщення, неприйнятні для деяких застосувань.
Див. також
Перетворення Радона Спектральний аналіз методом найменших квадратів MUSIC
Література
Примітки