Інваріа́нтний розши́рений фільтр Ка́лмана (ІРФК, ) (не плутати з ітерованим розширеним фільтром Калмана) вперше запропонували як версію розширеного фільтра Калмана (РФК) для нелінійних систем, які мають симетрії (або інваріантності), а згодом узагальнили й переформулювали як пристосування теорії лінійного калмановго фільтрування до груп Лі. Замість використання лінійного члена виправлення на основі лінійної похибки виходу, ІРФК використовує геометрично пристосований член виправлення на основі інваріантної похибки виходу; так само, матрицю передавального коефіцієнта уточнюють на основі не лінійної, а інваріантної похибки стану. Основна перевага полягає в тому, що рівняння для матриці передавального коефіцієнта та коваріації меншою мірою залежать від оціненого значення стану. У деяких випадках вони збігаються до сталих значень на значно ширшій множині траєкторій, ніж у випадку РФК, що забезпечує кращу збіжність оцінювання.
Виведення фільтра
Дискретночасова схема
Розгляньмо систему, стан якої на такті задається елементом групи Лі , а динаміка має такий вигляд:
де — автоморфізм групи , — групова операція, а — елемент . Вважають, що цю систему спостерігають за допомогою вимірювання такого вигляду:
де належить векторному простору , наділеному лівою дією елементів , яку також позначено символом (що не може сплутуватися з груповою операцією, оскільки другий операнд цієї операції є елементом , а не ). Як альтернатива, та сама теорія застосовна до вимірювання, визначеного правою дією:
Рівняння фільтра
Інваріантний розширений фільтр Калмана є спостерігачем , визначеним такими рівняннями, якщо функція вимірювання є лівою дією:
де — експонента , а — матриця передавального коефіцієнта, яку настроюють за допомогою рівняння Ріккаті.
Якщо функція вимірювання є правою дією, то уточнений стан визначають як
Неперервночасова схема
Наведену вище дискретночасову схему вперше було запроваджено для неперервночасової динаміки такого вигляду:
де векторне поле у будь-який момент часу задовольняє співвідношення
де одиничний елемент групи позначено через , а для лівого перенесення (відповідно, правого перенесення ) використовують скорочене позначення (відповідно, ), де позначає дотичний простір до у точці . Це приводить до складніших обчислень, ніж у дискретночасовій схемі, проте властивості лишаються подібними.
Головні властивості
Головна перевага інваріантного розширеного калманового фільтрування полягає в поведінці змінної інваріантної похибки, визначення якої залежить від типу вимірювання. Для лівих дій визначаємо змінну лівоінваріантної похибки як , , тоді як для правих дій визначаємо змінну правоінваріантної похибки як , , Справді, підставивши замість , , їхні значення, для лівих дій після деяких алгебричних перетворень отримуємо , , а для правих дій — , , Бачимо, що оцінене значення стану не входить до рівняння, якому підпорядковується змінна похибки. Це властивість лінійного калманового фільтрування, якої не має класичний розширений фільтр Калмана, проте подібність до лінійного випадку насправді сягає значно далі. Нехай — лінійна версія змінної похибки, визначена тотожностями
Тоді, якщо визначено розкладом Тейлора , насправді маємо:
Інакше кажучи, членів вищих порядків немає: динаміка для змінних похибки лінійна. Цей результат і незалежність динаміки похибки лежать в основі теоретичних властивостей і практичної ефективності ІРФК.
Зв'язок зі спостерігачами зі збереженням симетрії
Більшість фізичних систем мають природні симетрії (або інваріантності), тобто існують перетворення (наприклад, обертання, перенесення, масштабування), які лишають систему незмінною. З математичного та інженерного погляду природно, щоби фільтр, належно спроєктований для розглядуваної системи, зберігав ті самі властивості інваріантності. Ідея ІРФК полягає у видозміні рівнянь РФК задля отримання переваги за рахунок симетрій системи.
Визначення
Розгляньмо систему
де — незалежні білі ґауссові шуми. Розгляньмо групу Лі з одиничним елементом та (локальні) групи перетворень () такі, що . Наведену вище систему з шумом називають інваріантною, якщо вона лишається незмінною під дією груп перетворень , тобто якщо
.
Рівняння фільтра та головний результат
Оскільки це , загальний вигляд ІРФК має вигляд
де
— інваріантна похибка виходу, відмінна від звичайної похибки виходу — інваріантний репер — інваріантний вектор — довільно обрана матриця передавального коефіцієнта.
Для аналізу збіжності похибки визначають інваріантну похибку стану , відмінну від стандартної похибки виходу , оскільки стандартна похибка виходу зазвичай не зберігає симетрій системи.
Для заданої системи та пов'язаної з нею групи перетворень існує конструктивний метод визначення , що ґрунтується на методі .
Подібно до РФК, матрицю передавального коефіцієнта визначають із рівнянь
, ,
де матриці тут залежать лише від відомого інваріантного вектора , а не від , як у стандартному РФК. Ця значно простіша залежність та її наслідки становлять головні переваги ІРФК. Справді, матриці тоді сталі вздовж значно ширшого класу траєкторій (так званих перманентних траєкторій, ), тоді як у випадку РФК це має місце лише для точок рівноваги. Поблизу таких траєкторій ми повертаємося до «справжнього», тобто лінійного, фільтра Калмана, для якого збіжність гарантовано. Неформально це означає, що ІРФК загалом збігається принаймні в околі будь-якої повільно змінюваної перманентної траєкторії, а не лише в околі будь-якої повільно змінюваної точки рівноваги, як РФК.
Приклади застосування
Курсовертикалі Інваріантні розширені фільтри Калмана використовують, зокрема, в курсовертикалях. У таких системах просторову орієнтацію, швидкість та/або положення рухомого твердого тіла, наприклад літака, оцінюють за даними різних вбудованих давачів, як-от інерційних давачів, магнітометрів, GPS чи гідролокаторів. Використання ІРФК природно приводить до розгляду кватерніонної похибки , яку часто використовують як спеціальний трюк для збереження обмежень групи кватерніона. Переваги ІРФК порівняно з РФК демонстрували експериментально для великої множини траєкторій.
Інерційна навігація Важливим застосуванням інваріантного розширеного фільтра Калмана є інерційна навігація, яка вписується в його схему після вкладення стану (що складається з матриці орієнтації , вектора швидкості та вектора положення ) до групи Лі , визначеної груповою операцією
Одночасне визначання місцезнаходження та картографування Задача одночасного визначання місцезнаходження та картографування також вписується в схему інваріантного розширеного калманового фільтрування після вкладання стану (що складається з матриці орієнтації , вектора положення та послідовності статичних характерних точок ) до групи Лі (або для плоских систем),. визначеної груповою операцією
Головною перевагою інваріантного розширеного фільтра Калмана в цьому випадку є розв'язання проблеми хибної спостережуваності.
Примітки