Ді́я групи на множині — це відображення
що має властивості:
для всіх де — це нейтральний елемент
З аксіом групи випливає, що для кожного відображення множини до себе за формулою є бієкцією або автоморфізмом
Типи дій Вільна, якщо для будь-яких не рівних між собою і довільного виконується . Транзитивна якщо для будь-яких існує такий, що , тобто якщо для довільного . Ефективна, якщо для довільних існує такий, що .
Орбіти елементів Підмножина
називається орбітою елемента .
Дія групи на множині визначає на ній відношення еквівалентності
Стабілізатор Підмножина
є підгрупою групи і називається стабілізатором елемента .
Стабілізатори елементів однієї орбіт спряжені, тобто якщо , то існує такий елемент , що
Кількість елементів в орбіті Загальна кількість елементів в орбіті елемента визначається за формулою: , де — стабілізатор елемента і — індекс підгрупи , що для скінченних груп рівний .
Справді нехай елемент n належить до орбіти елемента m, припустимо n = gm для деякого Визначимо тепер відображення f(n)=nH, де H=Gm - стабілізатор елемента m. Дане означення відображеняя з множини елементів орбіти m на множину лівих класів суміжності по H ' є несуперечливим, адже якщо y=g1x=g2x то і як наслідок g1H=g2H. Зважаючи на довільність вибору g, одержуємо, що відображення є сюр'єктивним. З іншого боку якщо g1H=g2H тоді і згідно з означенням стабілізатора звідки випливає g1x=g2x. Тобто відображення є ін'єктивним і значить бієктивним. Тобто потужність орбіти рівна потужності лівих класів суміжності по H, тобто за означенням рівна індексу підгрупи H, що доводить твердження
Якщо , то — формула розбиття на орбіти. Звідси випливають наступні тотожності:
Лема Бернсайда
Варіації та узагальнення Псевдогрупа перетворень
Див. також Представлення групи
Примітки
Джерела
Українською
Іншими мовами