Відно́шення еквівале́нтності () на множині — це бінарне відношення для якого виконуються наступні умови:
Рефлексивність: для будь-якого в , Симетричність: якщо , то , Транзитивність: якщо та , то .
Запис вигляду «» читається як « еквівалентно ».
Наслідком властивостей рефлексивності, симетричності і транзитивності є те, що будь-яке відношення еквівалентності забезпечує розбиття будь-якої базової множини на непересічні класи еквівалентності. Два елементи даної множини еквівалентні між собою тоді і тільки тоді, коли вони належать одному класу еквівалентності.
Позначення В літературі можуть застосовуватися різні символи для позначення двох елементів і із множини що є еквівалентними відповідно до відношення еквівалентності ; найбільш загальними позначеннями є "" і "", які використовують коли є неявною, і варіації позначень "", "", або "", які вказують явним чином. Нееквівалентність може записуватися як "" або "".
Пов'язані визначення Класом еквівалентності елемента називається підмножина елементів, еквівалентних . З зазначеного визначення випливає що, якщо , то . Множина всіх класів еквівалентності позначається . Для класу еквівалентності елемента використовується наступне позначення: , , . Множина класів еквівалентності по відношенню є розбиттям множини.
Приклади відношень еквівалентності Найбільш наочний приклад відношення еквівалентності — поділ учнів школи на класи. Відношення рівності («») тривіальне відношення еквівалентності на довільній множині, зокрема на множині дійсних чисел. Порівняння по модулю, («а ≡ b (mod n)»). В Евклідовій геометрії Відношення конгруентності («»). Відношення подібності («»). Відношення паралельності прямих («»). Відношення рівнопотужності множин є відношенням еквівалентності. Еквівалентність функцій в математичному аналізі: кажуть що функція еквівалентна функції при , якщо вона може бути представлена у вигляді: де при . В даному випадку пишуть , при . Якщо при , еквівалентність функції та при , очевидно, рівносильна відношенню . Еквівалентність категорій
Факторизація відображень
Множина класів еквівалентності, яка відповідає відношенню еквівалентності , позначається символом і називається фактор-множиною відносно . При цьому сюр'єктивне відображення
називається дійсним відображенням (чи канонічною проєкцією) на фактор-множину .
Нехай , — множини, — відображення, тоді бінарне відношення визначене правилом
є відношенням еквівалентності на . При цьому відображення утворює відображення , яке визначається правилом
чи . При цьому отримується факторизація відображення на сюр'єктивне відображення та ін'ективне відображення .
Факторизація відображень широко використовується в гуманітарних науках та в тих галузях техніки де немає можливостей використовувати числові значення. Вона дозволяє уникати формул там, де їх неможливо використати. Наведемо загально відомий всім приклад:
Розклад уроків в школі — є типовий приклад факторизації. В даному випадку — множина всіх учнів школи, — множина всіх предметів, упорядкованих по днях тижня та часом їх проведення. Класами еквівалентності є класи (групи учнів). Відображення — розклад уроків записаних у щоденники учнів. Відображення — розклад уроків по класам, який вивішують у вестибюлі школи. Там же і вивішується відображення — списки класів. Цей простий приклад наочно демонструє практичні вигоди факторизації: неможливо собі уявити розклад занять як таблицю в якій занесені всі учні школи в особистому порядку. Факторизація дозволила зобразити потрібну учням інформацію у зручному для використання вигляді в ситуації коли формули застосовувати неможливо.
На цьому переваги факторизації не закінчується. Вона дала можливість розділити роботу між людьми: завуч складає розклад, а учні записують його у щоденники. Аналогічно факторизація дозволила розділити роботу медика, який ставить діагноз та виписує рецепт, і фармацевта який еквівалентно рецепту підбирає ліки. Апофеозом факторизації є конвеєр, де реалізоване максимальне розбиття праці за рахунок стандартизації деталей.
Факторизація дозволила забезпечити модульність сучасної техніки. Наприклад, можна замінити телефон але залишити сім-карту і карту пам'яті зі старого телефону, або поміняти оперативну пам'ять в комп'ютері більше нічого не чіпаючи. Все це гнучкість і модульність в основі яких лежить факторизація.
Фактор-множина та класи еквівалентності
Сукупність множин {Bi|i∈I} називається розбиттям множини A, якщо Bi=A і Bi∩Bj = ∅ для i≠j. Множини Bi, i∈I є підмножинами множини A і називаються класами, суміжними класами, блоками або елементами розбиття. Очевидно, що кожний елемент a∈A належить одній і тільки одній множині Bi, i∈I.
Нехай тепер на множині M задано відношення еквівалентності R. Виконаємо таку побудову. Виберемо деякий елемент a∈M і утворимо підмножину SaR = {x| x∈M і aRx}, яка складається з усіх елементів множини M, еквівалентних елементу a. Візьмемо другий елемент b∈M такий, що b∉SaR і утворимо множину SbR = {x | x∈M і bRx } з елементів еквівалентних b і т. д. Таким чином одержимо сукупність множин (можливо, нескінченну) {SaR, SbR,…}.
Побудована сукупність множин { SiR | i∈I} є фактор-множиною множини M за еквівалентністю R і позначається M/R.
Очевидно, що будь-які два елементи з одного класу SiR еквівалентні між собою, в той час як будь-які два елементи з різних класів фактор-множини M/R нееквівалентні.
Класи SiR називають класами еквівалентності за відношенням R. Клас еквівалентності, який містить елемент a∈M часто позначають через [a]R.
Див. також Асимптотична рівність Відношення порядку Відношення толерантності Вільний добуток
Джерела
А. И. Кострикин, Введение в алгебру. : Наука, 1977, 47—51.