В математиці, бінарне відношення R на множині X є транзитивним, якщо для будь-яких a, b, та c з X, виконується: коли a відноситься до b і b відноситься до c, то a відноситься до c.
Формально:
Нетранзитивне відношення Якщо ця умова дотримується не для всіх трійок a, b, c, то таке відношення називається нетранзитивним. Наприклад, не для всіх трійок вірно, що . Бінарне відношення R, задане на множині X називається нетранзитивним, якщо .
Антитранзитивне відношення Існує більш «сильна» властивість — антитранзитивність. Під цим терміном розуміється, що для будь-яких трійок a, b, c відсутня транзитивність. Антитранзитивне відношення, наприклад — відношення перемогти в турнірах «на виліт»: якщо A переміг гравця B, а B переміг гравця C, то A не грав з C, отже, не міг його перемогти. Бінарне відношення , задане на множині називається антитранзитивним, якщо для .
Особливості Якщо відношення транзитивне, то зворотне відношення також транзитивне. Нехай , але за визначенням оберненого відношення . Так як транзитивне, то і , що й потрібно було довести. Якщо відношення транзитивні, то відношення транзитивне. Нехай . З транзитивності слідує , але з визначення перетину відносин отримуємо , що й потрібно було довести.
Приклади транзитивних відношень Відношення часткового порядку: строга нерівність нестрога нерівність включення підмножини: строга підмножина нестрога підмножина подільність:
Рівність Еквівалентність Імплікація Паралельність Відношення подібності геометрических фігур Бути предком.
Приклади нетранзитивних відношень Харчовий ланцюжок: це відношення не завжди є транзитивним (приклад — вовки їдять оленів, олені їдять траву, але вовки не їдять траву). Бути переважніше ніж. Якщо ми хочемо яблуко замість апельсина, а замість яблука ми б хотіли кавун, то це не значить, що ми віддамо перевагу кавуну. Бути другом. Бути колегою по роботі. Бути підлеглим. Наприклад, у часи феодального ладу в Західній Європі була в ходу приказка: «Васал мого васала — не мій васал». Бути схожим на іншу людину.
Приклади антитранзитивних відношень Бути сином (батьком, бабусею). Гра «Камінь, ножиці, папір». Камінь перемагає ножиці, ножиці виграють у паперу, але камінь програє паперові і т. д.
Джерела