Ефективний потенціал — модифікований потенціал центральної сили, який додатково враховує потенціал відцентрової сили, що дозволяє відокремити рівняння радіального руху частинки від рівнянь її обертального руху, таким чином зменшивши розмірність задачі. Його використовують, зокрема, для визначення ньютонівських або релятивістських орбіт частинок в гравітаційному полі та для виконання напівкласичних розрахунків структури атомів з електромагнітною взаємодією між частинками.
Визначення
Ефективний потенціал визначають якде L — момент імпульсу, r — відстань між двома тілами, μ — зведена маса двох тіл (за великої різниці в масштабах мас приблизно дорівнює масі меншого тіла), U(r) — загальна форма потенціалу.
Ефективна сила — це від'ємний градієнт ефективного потенціалу:де позначає одиничний вектор у радіальному напрямку.
Важливі властивості Ефективний потенціал має багато корисних властивостей, зокремаЩоб знайти радіус колової орбіти, достатньо мінімізувати ефективний потенціал за , або, що еквівалентно, прирівняти нулю результуючу силу та розв'язати рівняння відносно :Після знаходження його підставляють в , щоб знайти максимальне значення ефективного потенціалу .
Колова орбіта може бути стійкою або нестійкою. Якщо орбіта нестійка, невелике збурення може вивести її зі стану рівноваги, тоді як стійка орбіта повернеться до стану рівноваги. Щоб визначити стійкість колової орбіти, потрібно визначити другу похідну ефективного потенціалу. Якщо вона додатна,то орбіта стійка.
Частота малих коливань дорівнюєде два штрихи позначають другу похідну ефективного потенціалу за , обчислену в точці мінімуму.
Гравітаційний потенціал
Розгляньмо частинку маси m, яка обертається навколо значно масивнішого тіла масою M. Припустімо, що працює ньютонівська механіка, яка є класичною та нерелятивістською. Закони збереження енергії та моменту імпульсу дають дві сталі величини, енергію E і момент імпульсу L, які мають значенняякщо рухом масивнішого тіла можна знехтувати. У цих виразах — похідна r за часом, — кутова швидкість тіла маси m, G — гравітаційна стала.
Потрібні лише дві змінні, оскільки рух відбувається в одній площині. Підставивши другий вираз у перший та виконавши перетворення, отримуємодевиражає ефективний потенціалJosé & Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, pp. 31–33.. Таким чином задача з двома змінними зводиться до задачі з однією змінною. Для багатьох застосувань ефективний потенціал можна розглядати так само, як потенціальну енергію одновимірної системи: наприклад, енергетична діаграма з ефективним потенціалом визначає точки повороту та положення стійких і нестійких станів рівноваги. Подібний метод можна застосовувати й в інших випадках, наприклад для визначення орбіт у метриці Шварцшильда в загальній теорії відносності.
Ефективні потенціали широко застосовують у різних галузях фізики конденсованої речовини, наприклад для потенціалу гауссового ядра (Likos 2002, Baeurle 2004) та екранованого кулонівського потенціалу (Likos 2001).
Примітки
Література
.