Квадратний корінь із 5 — додатне дійсне число, яке при множенні саме на себе дає натуральне число 5. Позначається . Разом із протилежним числом воно є коренем квадратного рівняння , що робить його (тип алгебричних чисел).  — ірраціональне число, тобто його не можна записати як дріб цілих чисел. Перші тридцять значущих цифр його :Довжину має діагональ прямокутника розмірами . зустрічається в метричній геометрії фігур із п'ятикратною симетрією; співвідношення між діагоналлю та стороною правильного п'ятикутника є золотим перерізом .

Раціональні наближення Квадратний корінь із 5 — число ірраціональне, тобто його не можна точно подати у вигляді дробу , де та  — цілі числа. Однак, його можна як завгодно точно апроксимувати такими раціональними числами.

Особливо хорошими наближеннями є цілочисельні розв'язки рівнянь Пелля,

які можна алгебрично перетворити до вигляду

Наприклад, наближення , що має точність приблизно 10 %, задовольняє від'ємне рівняння Пелля, наближення , що має точність у межах 1 %, задовольняє додатне рівняння, . Ці два наближення є відповідними основними розв'язками кожного з рівнянь Пелля, з якими алгебрично пов'язані додаткові розв'язки.

Розв'язки обох рівнянь Пелля також можна знайти, дотримуючись алгоритму Евкліда, що приводить до простого ланцюгового дробу для :

Кожен крок дає краще наближення , одне з підхідних дробів (часткових значень) цього ланцюгового дробу. Це послідовність найкращих раціональних наближень , кожне з яких точніше, ніж будь-яке інше раціональне наближення з тим самим або меншим знаменником. Вони дають усі розв'язки рівнянь Пелля, що задовольняють умову . Перші кілька підхідних дробів ланцюгового дробу: + У границі ці наближення збігаються до . Тобто .

Один із найдавніших методів обчислення квадратного кореня з , , починається з припущення , і на кожному кроці знаходить нове наближення через усереднення попереднього наближення та добутку і його оберненої величини . Це окремий випадок, для , методу Ньютона знаходження кореня довільної функції. Для типового припущення, наближення збігається квадратично (приблизно подвоює кількість правильних цифр на кожному кроці).

Початкове припущення дещо довільне, але при наближенні цим методом зазвичай беруть . За такого вибору, -те наближення дорівнює -му підхідному дробу ланцюгового дробу для :

де цифри, що відрізняються від десяткового розкладу , виділено червоним кольором.

Зв'язок із золотим перерізом та числами Фібоначчі

Золотий переріз  — це середнє арифметичне числа 1 та . Зв'язок із золотим перерізом та його алгебричним спряженим числом описують такі формули:

також фігурує в замкнутому виразі для чисел Фібоначчі:

Величина забезпечує цікаву закономірність ланцюгових дробів і пов'язана зі співвідношеннями між числами Фібоначчі та числами Люка:

У чисельниках підхідних дробів стоять числа Люка, а в знаменниках — числа Фібоначчі:

У границі,

Точніше, підхідні дроби ланцюгового дробу для (див. вище) є:

Геометрія

Згідно з теоремою Піфагора, геометрично відповідає діагоналі прямокутника, довжини сторін якого 1 і 2. Такий прямокутник можна отримати, розділивши квадрат навпіл, або помістивши два рівні квадрати поруч. Це можна використати для поділу квадратної сітки на похилу квадратну сітку з у п'ять разів більшою кількістю квадратів, що формує основу для розбиття поверхні. Разом із алгебричним співвідношенням між і , це є основою для геометричної побудови золотого прямокутника з квадрата та для побудови правильного п'ятикутника за його стороною (оскільки відношення сторони до діагоналі в правильному п'ятикутнику дорівнює .

Оскільки дві суміжні грані куба розгортаються у прямокутник , відношення найкоротшої відстані від однієї з його вершин до протилежної, якщо рухатися поверхнею куба, до довжини ребра куба дорівнює . Натомість найкоротша відстань під час проходження через внутрішню частину куба дорівнює довжині діагоналі куба, тобто, квадратному кореню з трьох помноженому на довжину ребра.

Прямокутник із відношенням сторін належить до серії динамічних прямокутників на основі послідовності , , , , …, які послідовно будуються з використанням діагоналі попереднього прямокутника, починаючи з квадрата. Прямокутник із особливо примітний тим, що його можна розбити на квадрат і два рівні золоті прямокутники або на два золоті прямокутники різних розмірів. Його також можна розкласти на об'єднання двох рівних золотих прямокутників, перетин яких утворює квадрат. Ці фігури унаочнюють описані вище алгебричні зв'язки між , та .

Тригонометрія Квадратний корінь із 5 входить до тригонометричних сталих, пов'язаних із кутами правильного п'ятикутника та десятикутника. У поєднанні з іншими кутами, для яких виникає або , вони дають змогу виразити синуси й косинуси кожного кута, величина якого в градусах кратна 3, але не кратна 15. Найпростіші з них -

Тому обчислення його значення було історично важливим для створення . Оскільки геометрично пов'язаний із півквадратними прямокутниками та п'ятикутниками, він також часто зустрічається у формулах для геометричних властивостей фігур, отриманих із них, наприклад, у формулі для об'єму додекаедра.

Діофантові наближення Теорема Гурвіца в діофантових наближеннях стверджує, що кожне ірраціональне число можна апроксимувати нескінченною кількістю раціональних чисел.

і що є найкращим у тому сенсі, що для будь-якої більшої сталої існують деякі ірраціональні числа , для яких існує лише скінченна кількість таких наближень.

Тісно пов'язана з цим теорема, яка стверджує, що для будь-яких трьох послідовних підхідних дробів , , числа виконується принаймні одна з трьох нерівностей:

І у знаменнику є найкращою можливою межею, оскільки збіжні елементи золотого перерізу роблять різницю в лівій частині як завгодно близькою до значення в правій частині. Зокрема, неможливо отримати точніше обмеження, розглядаючи послідовності з чотирьох або більше послідовних підхідних дробів.

та 1873 року довели, що перші два числа Лагранжа — це квадратний корінь з 5 та квадратний корінь з 8, що пізніше надихнуло Андрія Маркова на роботу над тим, що стало відомим як теорема Маркова.

Алгебра Два квадратичні поля і , розширення поля раціональних чисел, та пов'язані з ними кільця цілих чисел і відповідно, є базовими прикладами, їх докладно вивчено.

Кільце містить числа виду , де та  — цілі числа, а  — уявне число . Це кільце є часто цитованим прикладом області цілісності, яка не є однозначною областю факторизації. Наприклад, число 6 має в цьому кільці два нееквівалентні розклади на множники:

З іншого боку, кільце дійсних , утворене приєднанням золотого перерізу , як показав Дедекінд, є евклідовим, а отже — областю однозначної факторизації. Це кільце цілих у золотому числовому полі .

Поле як і будь-яке інше квадратичне поле, є абелевим розширенням раціональних чисел. Таким чином, теорема Кронекера — Вебера гарантує, що квадратний корінь із п'яти можна записати як раціональну лінійну комбінацію коренів з одиниці:

Обчислення Станом на січень 2022 року десяткове числове значення квадратного кореня з 5 було обчислено щонайменше до 2,25 трильйона цифр.

Див. також Золотий переріз Квадратний корінь Квадратний корінь з 2 Квадратний корінь з 3

Примітки