Впорядко́вана множина́ — множина для будь-яких двох елементів , якої встановлено одне з наступних відношень порядку:
або ( не перевищує ), або ( не перевищує ), з наступними властивостями: рефлексивність: будь-який елемент множини не перевершує самого себе; антисиметричність: якщо не перевершує , а не перевершує , то елементи і збігаються; транзитивність: якщо не перевершує , а не перевершує , то не перевершує .
Впорядкування множин Порожню множину домовилися вважати впорядкованою. У сформульованому вище визначенні впорядкованої множини, елементами якої можуть бути об'єкти будь-якої природи, знак читається «не перевершує». Звичне читання і сенс цей знак (як знак «менше або дорівнює») набуває в разі, коли елементи множини — числа.
Дві множини, складені з одних і тих же елементів, але з різними відношеннями порядку, вважаються різними впорядкованими множинами.
Одну і ту ж множину можна впорядкувати різними способами, одержуючи тим самим різні впорядковані множини. Наприклад, розглянемо множину, елементами якої є різні опуклі багатокутники: трикутник, чотирикутник, п'ятикутник, шестикутник і т. д. Один спосіб утворення впорядкованої множини з даної невпорядкованої множини може, наприклад, полягати в тому, що як перший елемент впорядкованої множини ми беремо трикутник, як другий — чотирикутник, третій — п'ятикутник і т. д., тобто впорядковуємо множину в порядку зростання числа внутрішніх кутів багатокутників. Множина багатокутників може бути впорядкована й іншим способом, наприклад перерахуванням багатокутників у порядку зростання площ, коли першим вибирається багатокутник, що має найменшу площу, а другим — багатокутник з площею, що не перевищує площу усіх інших, окрім вже вибраного, і т. д.
Запис впорядкованих множин Впорядковані (скінченні або такі, елементи яких можна перерахувати) множини часто записують, розташовуючи їхні елементи в заданому порядку в круглих дужках. Наприклад, записи (1; 2; 3) та (2; 1; 3) (1) задають різні скінченні впорядковані множини, які можна отримати з однієї і тієї ж множини {1; 2; 3}, впорядковуючи її двома різними способами. Для запису скінченної впорядкованої множини у вигляді, аналогічному (1), необхідно вказати перший елемент впорядкованої множини і вказати порядок (правило) розташування наступних елементів.
Див. також
Відношення порядку Частково впорядкована множина Лінійно впорядкована множина Цілком впорядкована множина Порядкові числа
Джерела Справочник по математике для средних учебных заведений. Цыпкин А. Г./Под ред. С. А. Степанова. — 3-е изд. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 480 с.