Рівномірна неперервність в математичному і функціональному аналізі — це властивість функції бути однаково неперервною в усіх точках області визначення.
Означення Нехай дано два метричні простори і . Функція називається рівномірно неперервною на підмножині якщо .
Зокрема, дійснозначна функція дійсного змінного рівномірно неперервна, якщо
Вибір у визначенні рівномірної неперервності залежить від , але не від
Властивості Функція, рівномірно неперервна на множині неперервна на ній. Зворотне, взагалі кажучи, не справджується. Наприклад, функція
неперервна на всій області визначення, але не є рівномірно неперервною, оскільки при будь-якому можна вказати відрізок скільки завгодно малої довжини такий, що на його кінцях значення функції відрізнятимуться більше, ніж на Інший приклад: функція
неперервна на всій числовій осі, але не є рівномірно неперервною, оскільки
Для будь-якого можна вибрати відрізок як завгодно малої довжини такий, що різниця значень функції на кінцях відрізка буде більше Зокрема, на відрізку різниця значень функції збігається до (Теорема Кантора — Гейне) Функція, неперервна на компактній підмножині рівномірно неперервна на ній. Зокрема якщо то вона рівномірно неперервна на Нехай це рівномірно неперервне відображення, і — послідовність Коші в Тоді — послідовність Коші в Будь-яке ліпшицеве відображення є рівномірно неперервним.
Див. також Рівностепенева неперервність Абсолютна неперервність
Джерела