Теорема Перрона — Фробеніуса — теорема, що описує деякі властивості спектра додатних та невід'ємних квадратних матриць. Названа на честь німецьких математиків (який довів її для додатних матриць) і Георга Фробеніуса. Результати теореми використовуються у теорії ймовірностей (при дослідженні властивостей ланцюгів Маркова зі скінченною кількістю станів), математичній економіці (зокрема при дослідженні моделі Леонтьєва) та ін.
Твердження для додатних матриць Нехай A — деяка додатна квадратна матриця, тобто
Тоді виконуються такі твердження: Матриця A має деяке дійсне додатне власне число r. Всі інші власні числа матриці A (дійсні чи комплексні) за модулем менші від r. Дане власне значення є простим коренем характеристичного рівняння. Існує власний вектор, що відповідає r і має строго додатні координати Серед власних векторів, що відповідають іншим власним значенням немає жодного зі строго додатними координатами. Виконуються нерівності:
Результати цього твердження залишаються в силі, якщо замість додатних матриць розглядати примітивні матриці, тобто такі деяка степінь яких є додатною матрицею.
Невід'ємні нерозкладні матриці Матриця A розмірності n з невід'ємними елементами називається розкладною якщо вона задовольняє такі еквівалентні умови: Існує така підмножина що виконуються рівності: Деякою перестановкою рядків і стовпців матрицю можна привести до вигляду:
де B і D — деякі квадратні матриці, 0 — нуль-матриця. Якщо такої множини індексів S не існує (і матрицю не можна привести до вказаного виду), то матриця називається нерозкладною.
Іншими еквівалентними означеннями нерозкладних матриць є:
де I — одинична матриця. Для будь-яких цілих чисел (i, j) таких що існує число що виконується: Нехай введено орієнтований граф вершини якого відповідають рядкам і стовпцям матриці і від вершини i до вершини j дуга йде тоді і тільки тоді, коли Тоді матриця A є нерозкладною тоді і тільки тоді, коли відповідний граф є сильно зв'язаним.
Твердження для невід'ємних нерозкладних матриць Нехай A — деяка невід'ємна нерозкладна матриця.
Тоді виконуються такі твердження: Матриця A має деяке дійсне додатне власне число r. Всі інші власні числа матриці A (дійсні чи комплексні) за модулем не більші від цього числа r. Дане власне значення є простим коренем характеристичного рівняння. Існує власний вектор, що відповідає r і має строго додатні координати Серед власних векторів, що відповідають іншим власним значенням немає жодного із невід'ємними координатами. Якщо r є одним із h власних значень рівних за модулем r то ці власні значення рівні усім кореням рівняння і відповідно кожне є простим коренем характеристичного рівняння. Виконуються нерівності:
Невід'ємні розкладні матриці У випадку розкладних матриць згадане в теоремі власне число теж існує, проте воно не обов'язково має бути алгебраїчно простим, а відповідний вектор(вектори) можуть не бути додатними але є невід'ємними.
Див. також Стохастична матриця Ланцюг Маркова
Джерела
Пономаренко О. І.,Перестюк М. О.,Бурим В. М. Основи математичної економіки. — К.: Інформтехніка, 1995. Bapat R. B., Raghavan T. E. S. Nonnegative matrices and applications, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-57167-7 A. Graham, Nonnegative Matrices and Applicable Topics in Linear Algebra, John Wiley&Sons, New York, 1987. Henryk Minc, Nonnegative matrices, John Wiley&Sons, New York, 1988, ISBN 0-471-83966-3 C. Godsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001 (chapter 8). A. Berman and R. J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Academic Press, 1979. ISBN 0-12-092250-9