У математиці, зокрема в теорії множин, об'єднання множин є множиною, яка включає в себе всі елементи об'єднуваних множин і нічого більше.
Базові визначення Якщо A та B — множини, то об'єднанням A та B є множина, яка включає всі елементи A і всі елементи B, і більш нічого.
Об'єднання множин A та B позначається як «A∪B».
Формально: x є елементом A∪B тоді й тільки тоді, коли x є елементом A або x є елементом B.
Наприклад, об'єднанням множин {1, 2, 3} та {2, 3, 4} буде {1, 2, 3, 4}.
Алгебраїчні властивості
Бінарна операція об'єднання є : асоціативною, тобто A∪(B∪C) = (A∪B)∪C (отже, коли в виразі є тільки операція об'єднання, дужки можна не писати: A∪B∪C);
комутативною, тобто A∪B = B∪A (отже, порядок запису множин в виразі не має значення). Порожня множина є нейтральним елементом для операції об'єднання в алгебрі множин. Тобто, Ø∪A = A, для будь-якої множини A.
ідемподентною, тобто A∪A = A.
Об'єднання довільної кількості множин
В загальному випадку, якщо M — множина, елементами якої є також множини, то x є елементом M тоді й тільки тоді, якщо існує такий елемент A з M, що x є елементом A. В символічній формі:
Позначення об'єднання довільної кількості множин такі: або
Остання нотація може бути узагальнена до
що відповідає операції об'єднання колекції множин {Ai : i в I}. Тут I — множина, а Ai — множина для кожного i в I.
В цьому випадку I є множиною індексів (натуральних чисел), і нотація є аналогічною узагальненій операції сумування:
Також можна записати «A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ···».
Дистрибутивність об'єднання і перетину
Перетин множин є дистрибутивним відносно об'єднання, тобто
Можна об'єднати таке нескінченне об'єднання з нескінченним перетином, отримавши співвідношення:
Див. також Диз'юнкція
Джерела