Алгебра множин — розділ теорії множин, який визначає закони композиції множин, виходячи з основних властивостей операцій над ними, а також пропонує певну систематичну процедуру для обчислення теоретико-множинних рівнянь та співвідношень.
З точки зору абстрактної алгебри алгебра множин — це кільце K підмножин множини R, що містить R.
Властивості операцій на множинах Бінарні операції об'єднання та перетину множин, задовольняють певним фундаментальним алгебраїчним властивостям. Далі вони наводяться без доведення.
ТВЕРДЖЕННЯ 1: Для будь-яких множин A, B, та C, виконуються такі співвідношення: комутативність: A ∪B = B ∪A A ∩B = B ∩A асоціативність: (A ∪B) ∪C = A ∪(B ∪C) (A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C) дистрибутивність операції перетину відносно об'єднання: A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C) A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C)
Як можна спостерігати з наведених співвідношень, з точки зору основних властивостей можна провести певну аналогію між операцією об'єднання множин та операцією множення чисел, операцією перетину множин та операцією додавання чисел. Ця аналогія розвивається в наступному твердженні:
ТВЕРДЖЕННЯ 2: Для будь-якої підмножини A універсальної множини U, справедливі наступні співвідношення:
властивості нуля A ∪Ø = A A ∩CA = Ø властивості одиниці A ∩U = A A ∪СA = U
Тут елементи Ø та U є нейтральними елементами відносно операцій ∪ та ∩ відповідно, тобто такими, що не впливають на результат операції, аналогічно тому, як в звичайній алгебрі дійсних чисел такими елементами на операціях множення та складання є 1 та 0 відповідно. Але, на відміну від звичайного множення та складання, в алгебрі операцій перетину та об'єднання множин не існує зворотного елементу.
Наведені закони складають основу алгебри множин. Всі інші співвідношення можуть бути виведені з них безпосередньо.
Принцип дуальності Наведені вище співвідношення демонструють цікаву закономірність. Якщо в якомусь з законів провести заміни ∪ на ∩, а також Ø на U, то він залишиться справедливим. Це фундаментальна властивість алгебри множин, яка має назву принципа дуальності.......
Додаткові співвідношення алгебри множин
ТВЕРДЖЕННЯ 3: Для будь-яких підмножин A та B універсальної множини U, справедливі наступні твердження: ідемпотентність: A ∪A = A A ∩A = A домінування: A ∪U = U A ∩Ø = Ø поглинання: A ∪(A ∩B) = A A ∩(A ∪B) = A
ТВЕРДЖЕННЯ 4: Нехай A та B — підмножини універсуму U, тоді: правила де Моргана: С(A∪B) = CA∩CB C(A∩B) = CA∪CB CCA = A CØ = U CU = Ø
ТВЕРДЖЕННЯ 5: Нехай A та B — підмножини універсуму U, тоді: однозначність доповнення: Якщо A ∪B = U, та A ∩B = Ø тоді B = СA.
Часткова впорядкованість На множині X можна ввести відношення порядку ⊆, яке задовольняє наступним властивостям:
ТВЕРДЖЕННЯ 6: Якщо A, B та C — деякі множини, то:
рефлексивність: A ⊆ A
антисиметричність: A ⊆ B та B ⊆ A тоді й тільки тоді, якщо A = B
транзитивність: If A ⊆ B та B ⊆ C тоді A ⊆ C
Це твердження говорить про те, що множина X є алгебраїчною структурою, або решіткою, і якщо вона дистрибутивна (що показано в твердженні 1) та для кожного елементу існує його доповнення, то така структура має назву булевої алгебри (таке визначення булевої алгебри не є математично строгим, докладніше дивись в статті Булева алгебра).
ТВЕРДЖЕННЯ 7: Якщо A, B та C — підмножини S, то виконується наступне:
Ø ⊆ A ⊆ S A ⊆ A ∪B Якщо A ⊆ C та B ⊆ C то A ∪B ⊆ C A ∩B ⊆ A Якщо C ⊆ A та C ⊆ B то C ⊆ A ∩B
ТВЕРДЖЕННЯ 8: Для будь-яких множин A та B, наступні твердження еквівалентні: A ⊆ B A ∩B = A A ∪B = B A − B = Ø BC ⊆ AC
Алгебра доповнень
ТВЕРДЖЕННЯ 9: Для універсальної множини U та підмножин A, B, та C з U, справедливе наступне: C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B) C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B) C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B) (B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A) (B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C) A − A = Ø Ø − A = Ø A − Ø = A B − A = AC ∩B (B − A)C = A ∪BC U − A = AC A − U = Ø
Див. також Сигма-алгебра Теорія множин
Джерела
, с. 70.