Непорожня система множин називається кільцем множин, якщо вона є замкнута щодо операцій об'єднання та перетину множин.
Тобто виконується:
Дана алгебраїчна структура не є алгебраїчним кільцем, а є дистрибутивною ґраткою.
Вищенаведене визначення задовільняють системи із однієї множини — сінглетони. Щоб уникнути цього, в теорії міри, кільцем множин називають непорожню систему множин, що є замкнутою відносно двох операцій: операцій об'єднання та різниці множин:
або операцій перетину та симетричної різниці множин (при даному визначенні кільце множин є алгебраїчним кільцем):
Обидва визначення є строгішими ніж початкове, а також еквівалентними оскільки виражаються: перше через друге:
друге через перше:
Властивості
Виконується дистрибутивний закон:
Поле множин Полем множин — називається кільце множин замкнуте відносно доповнення множин.
Поле множин ще називають алгеброю множин, хоча алгеброю множин частіше називають ту частину теорії множин, що вивчає властивості теоретико-множинних операцій.
Насправді, поле множин з точки зору абстрактної алгебри не є ні алгебраїчним полем, ні алгеброю над полем, а є булевим кільцем.
Сигма-алгебра Сигма-кільцем називається кільце, замкнуте відносно зліченного об'єднання елементів. Дельта-кільцем називається кільце, замкнуте відносно зліченного перетину елементів.
Аналогічно визначається сигма-алгебра та дельта-алгебра (до речі, довільна дельта-алгебра є сигма-алгеброю і навпаки).
Теорема Стоуна
Ґратка є дистрибутивною тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому кільцю множин. Ґратка є булевою алгеброю тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому полю множин.
Див. також Алгебра (теорія множин) Сигма-алгебра
Джерела