В теорії множин та інших галузях математики, одна з основних операцій на множинах.
Розрізняють доповнення множин (абсолютне доповнення) та різницю множин (відносне доповнення).
Різниця множин (відносне доповнення) Якщо A та B - множини, то різницею між B та А (порядок множин важливий), або відносним доповненням A до B, є множина з елементів B, які не належать A. Різниця множин є бінарною операцією.
Відносне доповнення A до B позначається як B − A (також B \ A).
Формально:
Приклади: {1,2,3} − {2,3,4} = {1} {2,3,4} − {1,2,3} = {4} Якщо - множина дійсних чисел, і - множина всіх раціональних чисел то є множиною ірраціональних чисел.
Наступне твердження містить основні властивості операції різниці множин та її співвідношення з операціями об'єднання та перетину множин
ТВЕРДЖЕННЯ 1: Якщо A, B, та C є множини, то справедливі такі співвідношення:: C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B) C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B) C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B) (B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A) (B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C) A − A = Ø Ø − A = Ø A − Ø = A
Абсолютне доповнення
Для універсальної множини U, відносне доповнення деякої множини A до U називається абсолютним доповненням (або просто доповненням) A, і позначається як AC або CA: AC = U − A
Наступне твердження містить деякі основні властивості абсолютного доповнення та зв'язок цієї операції з операціями об'єднання та перетину множин
ТВЕРДЖЕННЯ 2: Якщо A та B є підмножини U, то виконуються такі співвідношення: правила де Моргана: (A ∪B)C = AC ∩BC (A ∩B)C = AC ∪BC закони доповнення: A ∪AC = U A ∩AC = Ø ØC = U UC = Ø закон подвійного доповнення (операція доповнення є інволюцією): ACC = A.
Попереднє співвідношення твердить, що якщо A є непорожня підмножина U, то {A, AC } є поділом U.
Джерела