В абстрактній алгебрі радикалом ідеалу в комутативному кільці , називається множина: . Ідеал, що збігається зі своїм радикалом має назву радикальний ідеал.
Властивості Радикал ідеалу теж є ідеалом. Нехай деяке комутативне кільце, a два елементи, що належать радикалу ідеалу . Нехай такі, що та . З комутативності і можна використати формулу бінома Ньютона для :
При маємо , тоді і доданки, що відповідають тим індексам рівні нулю. Однак при , одержується . Тобто всі доданки належать і, зважаючи на замкнутість ідеалів щодо додавання, є елементом радикалу .
Далі якщо — деякий елемент кільця і — елемент радикалу такий, що , тоді тобто , що доводить твердження. Радикал ідеалу рівний перетину всіх простих ідеалів, що містять .(Див. статтю Простий ідеал).
Приклади
Нехай — кільце цілих чисел.
Радикал чисел, що діляться на 4 рівний . Радикал рівний . Радикал рівний .
Література David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.