Верхня та нижня межа (мажоранта та міноранта) — в теорії порядку, це межі підмножини в частково впорядкованій множині.
Визначення Для підмножини частково впорядкованої множини :
Міноранта чи нижня межа — елемент , такий що .
Мажоранта чи верхня межа — елемент , такий що .
Пов'язані визначення
Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом ( — найвищий) підмножини , називається найменший елемент , який є мажорантою . Позначається .
Більш формально: — множина мажорант , тобто елементів , рівних чи більших за всі елементи
Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом ( — найнижчий) підмножини , називається найбільший елемент , який є мінорантою . Позначається .
Зауваження
Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти. Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума. Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.
Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно. І навпаки, для підмножини : якщо , то є найменшим елементом та мінімумом , позначається . якщо , то є найбільшим елементом та максимумом , позначається .
Приклади На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум. такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум. Для множини ; . Множина додатних раціональних чисел не має точної верхньої грані в , точна нижня грань . Множина раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої грані в , але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то та .
Теорема про грані Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню грань; обмежена знизу — нижню грань. Тобто існує та такі, що
Властивості З теореми про грані, для будь-якої обмеженої зверху підмножини , існує . З теореми про грані, для будь-якої обмеженої знизу підмножини , існує . Дійсне число є тоді й лише тоді, коли: є верхня грань тобто для всіх елементів , ; Для будь-якого знайдеться , такий, що .(тобто до можна скільки завгодно «близько підібратися» з множини ) Аналогічне твердження справджується для точної нижньої грані.
Див. також Верхня множина Двоїстість (теорія порядку) Інфімум та супремум Найбільший та найменший елемент Максимальні та мінімальні елементи
Джерела