Нормальний простір — топологічний простір, який задовольняє аксіомам віддільності T1, T4, тобто такий топологічний простір, в якому одноточкові множини замкнені і будь-які дві диз'юнктні (тобто,такі, що не перетинаються) замкнуті множини мають диз'юнктні околи.
Приклади нормальних просторів Більшість просторів, що зустрічаються у математичному аналізі нормальні гаусдорфові простори, або принаймні нормальні регулярні простори: Усі метричні простори (а, отже, всі метризовні) є абсолютно нормальними гаусдорфовими просторами; Усі псевдометричні простори (а, отже, всі псевдометризовні) є абсолютно нормальними регулярними, хоча не обов'язково гаусдорфовими; Всі гаусдорфовs компактні простори є нормальними; Зокрема, стоун-чехівська компактифікація тихоновського простору є нормальним гаусдорфовим простором; Узагальнюючи наведені вище приклади, всі паракомпактні гаусдорфові простори є нормальними, і всі паракомпактні регулярні простори нормальні; Усі паракомпактні топологічні многовиди є абсолютно нормальними гаусдорфими просторами. Тим не менш, існують не паракомпактні многовиди, які не є навіть нормальними просторами. Усі топології порядку на повністю впорядкованій множині є спадково нормальними і гаусдорфими. Кожний регулярний простір, який задовольняє другу аксіому зліченності є абсолютно нормальним, і кожний регулярний ліндельофовий простір є нормальним.
Крім того, всі повністю нормальні простори нормальні (навіть якщо не регулярні). Простір Серпінського є прикладом нормального простору, який не є регулярним.
Властивості Нормальні простори є частковим випадком цілком регулярних (інакше, тихоновських) просторів. Будь-який замкнений підпростір нормального простору нормальний. Простір, усі підпростори якого нормальні, називається спадково нормальним. Для спадкової нормальності достатньо, щоб усі відкриті підпростори були нормальні. Для спадкової нормальності необхідно і достатньо, щоб були відокремлені околами будь-які дві множини, з яких жодна не містить точок дотику іншого. Нормальний простір називається цілком нормальним, якщо у ньому кожна замкнена множина є перетином зліченної кількості відкритих множин. Будь-який цілком нормальний простір є спадково нормальним. Добуток двох нормальних просторів не обов'язково нормальний. Досконало нормальним простором''' є топологічний простір , в якому кожні дві неперетинні замкнуті множини та можуть бути точно розділені функцією, в тому сенсі, що існує неперервна функція з в інтервал така що та .Willard, Exercise 15C
Див. також Лема Урисона Теорема Тітце про продовження
Примітки
Література
Келли Дж. Л.'' Общая топология. — М.: Наука, 1968.