Метризовний простір — топологічний простір, що є гомеоморфним деякому метричному простору. Інакше кажучи, простір, топологія якого породжується деякою метрикою. Якщо така метрика існує, то вона не є єдиною за винятком тривіальних випадків: коли простір є порожнім або складається лише з однієї точки. Наприклад, топологія кожного метризовного простору породжується деякою обмеженою метрикою.
Необхідні умови метризовності
У метризовних просторах виконуються сильні аксіоми віддільності: такі простори є нормальними і навіть колективно нормальними. Усі метризовні простори є паракомпактними. Всі метризовні простори задовольняють першу аксіому зліченності.
Достатня умова метризовності Теорема Урисона. Усі гаусдорфові нормальні простори (і, більш загально, гаусдорфові регулярні простори) зі зліченною базою є метризовними.
Еквівалентні умови метризовності
Простір є метризовним в тому і тільки в тому випадку, коли він є колективно нормальним і має зліченну множину відкритих покриттів, що подрібнюються; Критерій Стоуна — Архангельського: простір є метризовним у тому і тільки в тому випадку, коли він має зліченну фундаментальну множину відкритих покриттів і задовольняє -аксіому віддільності. Множина відкритих покриттів простору називається фундаментальною, якщо для кожної точки і кожного її околу існує покриття і окіл точки такі, що кожен елемент покриття , що перетинається з , міститься в .
На іншій важливій концепції — локальній скінченності, засновані інші загальні критерії.
Критерій Нагати — Смирнова: простір є метризовним в тому і тільки в тому випадку, якщо він є регулярним і має базу, що розпадається на зліченну множину локально скінченних сімей множин. Критерій Бінга є аналогічним але в ньому замість локально скінченних сімей розглядають дискретні сім'ї множин.
Зручні варіанти наведених вище основних критеріїв метризовності пов'язані з поняттями рівномірної бази і регулярної бази. База простору називається регулярною (рівномірною), якщо для будь-якої точки і будь-якого її околу існує окіл цієї точки такий, що кількість елементів бази , які перетинають одночасно і доповнення до , є скінченною (відповідно, якщо множина елементів таких що , є скінченною).
Простір є метризовним тоді і тільки тоді, коли він є колективно нормальним і має рівномірну базу. Для метризовності -простору необхідно і достатньо, щоб він мав регулярну базу.
По теоремі Ковальського, зліченний степінь їжака колючості (при ) є універсальним простором для всіх метризовних просторів ваги . Таким чином, простір є метризовним тоді і тільки тоді, коли він є гомеоморфним підпростору зліченного степеня їжака деякої колючості .
Окремі випадки Для деяких спеціальних класів просторів критерії метризовності є простішими.
Так, для метризовності компактного простору необхідно і достатньо виконання одної із умов:
має зліченну базою; має точково-зліченну базою;
Для метризовності простору топологічної групи необхідно і достатньо, щоб в останньому виконувалася перша аксіома зліченності і аксіома віддільності ; також тоді простір є метризовним інваріантною метрикою (наприклад, по відношенню до множення зліва).
Простір із хемікомпактного простору у метризовний простір із компактно-відкритою топологією є метризовним.
Повні і неповні метрики Не всі метризовні простори можна метризувати повною метрикою; прикладом метризовного простору на якому це неможливо є простір раціональних чисел.
Простір є метризовним повною метрикою в тому і тільки в тому випадку, якщо він є метризовним і повно за Чехом, тобто є множиною типу в деякому компакті, що його містить.
Важливою топологічною властивістю просторів, що метризуються повною метрикою, є властивість Бера: перетин будь-якої зліченної сім'ї усюди щільних відкритих множин є всюди щільною множиною.
Варіації і узагальнення До метризовних просторів найбільш близькі за властивостями морівські простори — цілком регулярні простори, що мають зліченну множину відкритих покриттів, що подрібнюються і мереживні простори.
Широкий спектр узагальнень поняття метризовності простору одержується послабленням аксіом метрики і розглядом породжених такими «метриками» топологій. Таким прикладом є симетризовні простори, які одержуються відмовою від аксіоми нерівності трикутника. У цю схему вкладаються і морівські простори.
Інші важливі узагальнення поняття метризовності пов'язані з розглядом «метрик» зі значеннями в напівполі та інших алгебричних структурах.
Примітки
Література