В математиці, послідовністю Морзе — Туе, називають двійкову послідовність яка починається так:
0 1 10 1001 10010110 1001011001101001….
Замість символів 1 та 0 можна використати будь-яку іншу пару, логічна структура послідовності Морзе — Туе не залежить від символів що використовуються для її представлення.
Задання Існує кілька способів задати послідовність Морзе — Туе:
Пряме задання Щоб обчислити n-тий елемент , запишіть номер в двійковій формі. Якщо число одиниць в цьому двійковому записі непарне, тоді , якщо ж парне, то .
Рекурсивне задання Послідовність можна задати так:
L-система Послідовність Морзе — Туе — це вивід наступної системи Лінденмаєра: Змінні 0 1 Константи немає Аксіома 0 Правила (0 → 01), (1 → 10)
Конкатенація з результатом побітового «не» Послідовність Морзе — Туе, у формі що дається вище як послідовність бітів, може описуватись рекурсивно з використанням оператора побітового заперечення.
Перший елемент — 0. Якщо перших елементів визначені, і формують послідовність , тоді наступні елементів є побітовим запереченням . Таким чином ми описали перших елементів, і продовжимо рекурсію для них.
Якщо розписати кілька перших кроків: Починаємо з нуля. Отримуємо 0 Побітовим запереченням нуля є 1. Отримуємо 01 Побітовим запереченням 01 є 10. Отримуємо 0110 Побітовим запереченням 0110 є 1001. Отримуємо 01101001 І так далі. Дивіться анімацію на початку статті.
Деякі властивості
Фрактали та черепашача графіка Черепашача графіка — це крива, що генерується автоматом, який керується послідовністю команд.
Якщо елементи послідовності Морзе — Туе інтерпретувати так: Якщо t(n) = 0, переміститись вперед на одиницю, Якщо t(n) = 1, повернутись проти годинникової стрілки на кут π/3,
Крива яку отримуємо в результаті збігається до сніжинки Коха, фрактальної кривої нескінченної довжини, що міститься в скінченній площі. Це ілюструє фрактальну природу послідовності Морзе — Туе.
Див. також Послідовність Ґулда
Посилання The Ubiquitous Prouhet-Thue-Morse Sequence. Allouche, J.-P.; Shallit, J. O. Many applications and some history MathWorld: Thue-Morse Sequence . Some other applications When Thue-Morse meets Koch A paper showing an astonishing similarity between the Thue–Morse Sequence and the Koch snowflake Reducing the influence of DC offset drift in analog IPs using the Thue-Morse Sequence A technical application of the Thue–Morse Sequence MusiNum — The Music in the Numbers Freeware to generate self similar music based on the Thue–Morse Sequence and related number sequences.