Послідовність Ґулда — це цілочислова послідовність, названа на честь , яка підраховує кількість непарних чисел у кожному рядку трикутника Паскаля. Містить лише степені двійки та починається:.
1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, … —
Наприклад, шостим числом у послідовності є 4, оскільки в шостому рядку трикутника Паскаля є чотири непарні числа (виділено жирним шрифтом): 1, 5, 10, 10, 5, 1. Послідовність Ґулда є фрактальною послідовністю.
Інші тлумачення -не значення в послідовності (починаючи з ) дорівнює найбільшому степеню 2, який є дільником центрального біноміального коефіцієнта .
Послідовність Ґулда також дає кількість живих клітин у -му поколінні клітинного автомата Правило 90, що починається з однієї живої клітини.. Він має характерну зростальну пилкоподібну форму, за якою можна розпізнавати фізичні процеси, які поводяться подібно до Правила 90..
Пов'язані послідовності Двійкові логарифми (показники степенів двійки) послідовності Ґулда самі утворюють цілочисельну послідовність,
0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, …
у якій -не значення дає кількість ненульових бітів у двійковому поданні числа , яку іноді позначають як . Рівнозначно, -не значення в послідовності Ґулда дорівнює
Взявши послідовність показників степенів за модулем два, маємо послідовність Туе — Морзе..
Часткові суми послідовності Ґулда,
0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, …
підраховують усі непарні числа в перших рядках трикутника Паскаля. Ці числа зростають пропорційно , але коефіцієнт пропорційності коливається між 0,812556… і 1, періодично як функція ...
Рекурсивна побудова та самоподібність Перші значень послідовності Гулда можна побудувати рекурсивною побудовою перших значень, а потім об'єднання з подвоєннями перших значень. Наприклад, об'єднання перших чотирьох значень 1, 2, 2, 4 з їхніми подвоєннями 2, 4, 4, 8 дає перші вісім значень. За цією побудовою перше входження кожного степеня двох в цій послідовності розташоване в позиції .
Послідовність Ґулда, послідовність показників її членів і послідовність Туе – Морса є самоподібними: вони мають властивість, що підпослідовність значень у парних позиціях всієї послідовності дорівнює початковій послідовності. Цю властивість мають також деякі інші послідовності, наприклад,двоатомна послідовність Штерна... As cited by Gilleland. У послідовності Ґулда значення в непарних позиціях подвоєні порівняно з попередніми, тоді як у послідовності показників степенів значення в непарних позиціях більші на одиницю від попередніх.
Історія Послідовність названо на честь , який вивчав її на початку 1960-х років. Проте той факт, що ці числа є степенями двійки, причому показник степеня -го числа дорівнює числу одиниць у двійковому поданні , був відомий ще 1899 року... See in particular the final paragraph of p. 156.
Доведення того, що числа в послідовності Ґулда є степенями двійки, пропоновано як задачу на 1956 року..
Примітки